A B. 4506. feladat (2013. január)

B. 4506. Igazoljuk, hogy létezik végtelen sok pozitív egész szám úgy, hogy közülük semelyik véges soknak az összege nem négyzetszám.

Javasolta: Kutas Péter

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: 1. megoldás: Válasszunk ki 2-hatványokat.

2. megoldás: Ha már valahány számot kiválasztottunk, a következő legyen ,,sokkal'' nagyobb, mint az addigiak.

1. megoldás. Legyen minden nemnegatív egész n-re x_n=2²ⁿ⁺¹. Megmutatjuk, hogy ezek közül semelyik véges soknak az összege nem négyzetszám.

Tegyük fel, hogy kiválasztottunk néhány (k $\ge$ 1) számot, ezek $x_{n_1}<x_{n_2}<\ldots<x_{n_k}$ . A számok összege

$x_{n_1}+x_{n_2}+\ldots+x_{n_k}= 2^{2n_1+1}+2^{2n_2+1}+\ldots+2^{2n_k+1}= 2^{2n_1+1}\big(1+2^{2(n_2-n_1)}+\ldots+2^{2(n_k-n_1)}\big).$

Az utolsó szorzatban a 2^2n₁+1 tényező a 2-nek páratlan kitevőjű hatványa, a másik tényező pedig páratlan, ezért a szorzatuk nem lehet négyzetszám.

2. megoldás. A keresett $y_1<y_2<\ldots<$ számokat rekurzívan adjuk meg. Legyen y₁=2. Ha az $y_1<\ldots<y_n$ számokat már definiáltuk, akkor legyen $y_{n+1} = (y_1+\ldots+y_n)^2+1$ .

Tegyük fel, hogy kiválasztottunk néhány (k $\ge$ 1) számot, ezek $y_{n_1}<y_{n_2}<\ldots<y_{n_k}$ . Legyen $S=y_{n_1}+y_{n_2}+\ldots+y_{n_k}$ ; azt kell ellenőriznünk, hogy S nem négyzetszám.

Ha n_k=1, az csak úgy lehet, ha k=1 és S=y₁=2, ami nem négyzetszám.

Ha n_k $\ge$ 2, akkor a sorozat definíciója alapján

$S=y_{n_1}+y_{n_2}+\ldots+y_{n_k} \ge y_{n_k} > (y_1+\ldots+y_{n_k-1})^2$

és

$S \le y_1+\ldots+y_{n_k} = (y_1+\ldots+y_{n_k-1}) + (y_1+\ldots+y_{n_k-1})^2+1 < (y_1+\ldots+y_{n_k-1}+1)^2.$

Az S két szomszédos négyzetszám közé esik, ő maga nem lehet négyzetszám.

Statisztika:

111 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 92 versenyző.

3 pontot kapott: 11 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai

111 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	92 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?