A B. 4543. feladat (2013. május)

B. 4543. Egy szabályos kilencszög bizonyos csúcsait pirosra, a többit feketére festettük. Nevezzünk egy háromszöget ,,unalmasnak'', ha minden csúcsa azonos színű. Bizonyítsuk be, hogy létezik két egybevágó ,,unalmas'' háromszög.

Matlap (Kolozsvár)

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Hányféle háromszöget határoznak meg a csúcsok?

1. megoldás (vázlat). Megmutatjuk, hogy egybevágóság erejéig a kilencszög csúcsai összesen 7-féle háromszöget határoznak meg, míg az unalmas háromszögek száma legalább 14.

Egy-egy háromszöget egybevágóság erejéig meghatároz, hogy a csúcsai milyen hosszú darabokra osztják a kilencszög kerületét. A darabok hosszát az oldalak darabszámával mérve, mindhárom hosszúság pozitív egész, és az összegük 9. Az ilyen hármasok a következők:

(1,1,7),  (1,2,6),  (1,3,5),  (1,4,4),  (2,2,5),  (2,3,4),  (3,3,3).

Ez összesen 7-féle háromszöget jelent.

Ha a csúcsok közül p darabot színeztünk pirosra, és 9-p darabot kékre, akkor az unalmas háromszögek száma . Mivel

az unalmas háromszögek száma minden esetben legalább 14.

2. megoldás (vázlat). Legyenek a csúcsok rendre A₁,A₂,...,A₉. Osztályozzuk az A₁A₂, A₂A₃, ..., A₉A₁ oldalakat aszerint, hogy kezdő- és végpontjaik milyen színűek. Mivel 9 oldal van, és csak 4-féle osztály, valamelyik osztályba legalább 3 oldal tartozik.

Tegyük tehát fel, hogy az A_iA_i+1, A_jA_j+1 és A_kA_k+1 oldalak ugyanabba az osztályba tartoznak; ekkor tehát A_i, A_j, A_k azonos színű, továbbá A_i+1, A_j+1 és A_k+1 is azonos színű. Ekkor viszont az A_iA_jA_k és az A_i+1A_j+1A_k+1 háromszög is unalmas, ez a két háromszög különböző, és egymás elforgatottja.

3. megoldás (vázlat). A kilencszög egy oldalát vagy átlóját nevezzük pirosnak, feketének, illetve vegyesnek, ha mindkét végpontja piros, mindkét végpontja fekete, illetve ha végpontjai ellentétes színűek.

(1) Ha van két párhuzamos piros oldal vagy áltló, AB és CD, akkor ezek egy szimmetrikus trapézt határoznak meg, amelynek minden csúcsa piros; ekkor az ABC és BAD háromszögek egybevágó unalmas háromszögek.

(2) Hasonlóképpen igaz az állítás, ha van két párhuzamos fekete átló vagy oldal.

(3) Ha van három párhuzamos vegyes átló/oldal, AB, CD, EF, ahol mondjuk A,C,E piros és B,D,F fekete, akkor ezek közös felező merőlegesére szimetrikusak az ACE és BDF egyszínű háromszögek.

Megmutatjuk, hogy a (1-3) esetek valamelyike biztosan teljesül. Mivel a színek szerepe szimmetrikus, az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy több piros pont van, mint fekete. Ha az összes csúcs piros, akkor az állitásunk triviális. Tegyük tehát fel, hogy van legalább egy fekete csúcs; legyen ez A₁, és a többi csúcs sorban A₂,...,A₉.

Tekintsük az A₂A₉, A₃A₈, A₄A₇ átlókat és az A₅A₆ oldalt; ezek egymással párhuzamosak. Ha (1-3) egyike sem teljesül, akkor a négy szakasz között legfeljebb egy piros, legfeljebb egy fekete és legfeljebb két vegyes lehet; ez csak úgy fordulhatna elő, ha pontosan egy piros és pontosan fekete lenne közöttük. Ekkor viszont az A₁ ponttal együtt a kilenc csúcs között 5 fekete és 4 piros lenne, viszont feltételeztük, hogy több piros van, mint fekete.

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	63 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai