A B. 4546. feladat (2013. május)

B. 4546. Legfeljebb hány olyan, egy pontból induló félegyenes adható meg a térben, amelyek közül bármelyik kettő tompaszöget zár be egymással?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A szabályos tetraéder centrumából a csúcsok felé futó félegyenesek egymással tompaszöget zárnak be, \(\displaystyle n\) tehát lehet \(\displaystyle 4\) (és nyilván \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 0\) is).

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle n\) nem lehet \(\displaystyle 4\)-nél nagyobb. Tekintsük a félegyenesek irányába mutató egységvektorokat: feltevésünk szerint ezek skaláris szorzata negatív. Válasszuk a koordinátarendszer pozitív \(\displaystyle x\)-tengelyének az egyik félegyenest, akkor a többi első koordinátája negatív. Ha (\(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle a_3\)) és (\(\displaystyle b_1\), \(\displaystyle b_2\), \(\displaystyle b_3\)) a többiek közül kettő, ezek skaláris szorzata \(\displaystyle a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\), ami \(\displaystyle a_1b_1>0\) miatt csak úgy lehet negatív, ha \(\displaystyle a_2b_2+a_3b_3<0\), vagyis az \(\displaystyle (a_2,\,a_3)\), \(\displaystyle (b_2,\,b_3)\) vektorok skaláris szorzata is negatív. Tehát a többinek az \(\displaystyle (y,\,z)\) síkra való vetületei között is tompaszögek vannak. Válasszuk \(\displaystyle y\)-tengelynek e vetületek egyikét, akkor a többinek a második koordinátája is negatív, tehát a harmadik koordináták szorzata is negatív. Márpedig legfeljebb kételemű lehet a valós számoknak az a halmaza, amelyben bármely két szám szorzata negatív, hiszen a halmaznak \(\displaystyle 0\) nem lehet eleme, és ha \(\displaystyle 2\)-nél több eleme volna, azok között volna két egyforma előjelű. Látható, hogy meggondolásunk tetszőleges dimenzióban érvényes, tehát általában a \(\displaystyle k\)-dimenziós térben \(\displaystyle n\le k+1\).

Statisztika:

51 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Formanek András, Forrás Bence, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Makk László, Mándoki Sára, Mezősi Máté, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simkó Irén, Somogyvári Kristóf, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Venczel Tünde.
4 pontot kapott:	Balogh Tamás, Gyulai-Nagy Szuzina, Hegyi Zoltán, Lelkes János, Németh Gergely, Sztilkovics Milán.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai