A B. 4557. feladat (2013. szeptember)

B. 4557. Adott a síkon öt pont, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesbe. Mutassuk meg, hogy kiválasztható közülük három, amelyek tompaszögű háromszöget alkotnak.

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat.

1. eset: A pontok egy konvex ötszög csúcsai.

Az ötszög szögeinek összege 540 fok, tehát valamelyik csúcsnál legalább 540/5=108 fokos, tehát tompaszög van. Ez a csúcs a két szomszédjával együtt tompaszögű háromszöget alkot.

2. eset: A pontok konvex burka három- vagy négyszög.

Ha a konvex burok négyszög, akkor az egyik átlóval bontsuk két háromszögre. Legalább az egyik pont (jelöljük X-vel) a konvex burok belsejébe, egyben az (egyik) háromszögbe esik, legyen ez a háromszög ABC. Az AXB, BXC, CXA szögek összege 360 fok, valamelyik legalább 120 fokos. Ezért az AXB, BXC, CXA háromszögek közül legalább az egyik tompaszögű.

Statisztika:

250 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	164 versenyző.
3 pontot kapott:	51 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai