Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4563. feladat (2013. október)

B. 4563. Oldjuk meg a

$\sqrt{x+14-\sqrt{4x-8}} - \sqrt{x-1-\sqrt{4x-8}} = 3$

egyenletet.

Javasolta: Fülöp Dóra (Pécs)

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat.

Legyen $y=\sqrt{x-1-\sqrt{4x-8}}$ , ahol nyilván y $\ge$ 0. Ezzel a helyettesítéssel $\sqrt{x+14-\sqrt{4x-8}}=\sqrt{y^2+15}$ , és az egyenlet

$\sqrt{y^2+15}-y=3.$

A négyzetgyököt a baloldalra, a többitagot a jobboldalra rendezve és négyzetre emelve

$\sqrt{y^2+15}=y+3$

y²+15=y²+6y+9

y=-1,

vagyis csak azok az x-ek lehetnek megoldások, amikre

$\sqrt{x-1-\sqrt{4x-8}} = y = 1.$

Négyzetre emelve,

$x-1-\sqrt{4x-8} = 1$

$\sqrt{4x-8} = x-2$

$2\sqrt{x-2} = \big(\sqrt{x-2}\big)^2$

$\sqrt{x-2}\big(\sqrt{x-2}-2\big)=0$

$\sqrt{x-2}=0 \quad\mathrm{vagy}\quad \sqrt{x-2}=2$

$x=2 \quad\mathrm{vagy}\quad x=6.$

Behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy x=2 és x=6 is valóban megoldása az egyenletnek.

Statisztika:

298 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 186 versenyző.

2 pontot kapott: 65 versenyző.

1 pontot kapott: 29 versenyző.

0 pontot kapott: 16 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai

298 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	186 versenyző.
2 pontot kapott:	65 versenyző.
1 pontot kapott:	29 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.