Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4566. feladat (2013. október)

B. 4566. Az ABC háromszög oldalaira kifelé az ABDE, BCFG és CAHI négyzeteket rajzoltuk, majd a DBG, FCI és HAE háromszögeket a DBGJ, FCIK és HAEL paralelogrammákká egészítettük ki. Igazoljuk, hogy

AKB\sphericalangle +BLC\sphericalangle + CJA\sphericalangle =90^{\circ}.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) vektor \(\displaystyle 90^{\circ}\)-kal való elforgatottját jelölje \(\displaystyle \overrightarrow{v}'\), egy \(\displaystyle P\) pontét pedig \(\displaystyle P'\).

Ekkor

\(\displaystyle \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IK}= -\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{BC}',\)

amiből

\(\displaystyle \overrightarrow{AK}'=(-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{BC}')'= (-\overrightarrow{CA})'+(\overrightarrow{CA}')'+(\overrightarrow{BC}')'= -\overrightarrow{CA}'-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC}.\)

Felírható, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\), és így \(\displaystyle (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})' =\overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'+\overrightarrow{CA}'=\overrightarrow{0}'=\overrightarrow{0}\), így \(\displaystyle \overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'=-\overrightarrow{CA}'\) és \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BC} -\overrightarrow{CA}\), tehát \(\displaystyle \overrightarrow{AK}'=\overrightarrow{AJ}\). Tehát a \(\displaystyle K\) pont \(\displaystyle A\) körüli \(\displaystyle -90^{\circ}\)-os elforgatottja a \(\displaystyle J\) pont, a \(\displaystyle B\) pont elforgatottja az \(\displaystyle E\) pont, ezért az \(\displaystyle AKB\triangle\) elforgatottja az \(\displaystyle AJE\triangle\). Emiatt \(\displaystyle AKB\sphericalangle=AJE\sphericalangle\).

Hasonlóan belátható, hogy a \(\displaystyle BLC\triangle\) \(\displaystyle C\) körüli \(\displaystyle +90^{\circ}\)-os elforgatottja az \(\displaystyle FJC\triangle\), ami miatt \(\displaystyle BLC\sphericalangle=FJC\sphericalangle\).

Tehát \(\displaystyle AKB\sphericalangle+BLC\sphericalangle+CJA\sphericalangle=AJE\sphericalangle+FJC\sphericalangle+CJA\sphericalangle=FJE\sphericalangle\). Erről kéne belátni, hogy \(\displaystyle 90^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle \overrightarrow{JE}=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DE}\), így \(\displaystyle \overrightarrow{JE}'=(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DE})'=(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{DE})'= \overrightarrow{GB}'+\overrightarrow{DE}'=\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{GF}+ \overrightarrow{JG}=\overrightarrow{JF}\). Tehát az \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle E\) pont \(\displaystyle J\) körüli \(\displaystyle -90^{\circ}\)-os elforgatottja. Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle FJE\sphericalangle=90^{\circ}\), a bizonyítást befejeztük.

Statisztika:

98 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Balogh Tamás, Barabás Ábel, Di Giovanni Márk, Egyházi Anna, Fekete Panna, Geng Máté, Kabos Eszter, Kocsis Júlia, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Machó Bónis, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Schwarcz Tamás, Varga Rudolf, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.
4 pontot kapott:57 versenyző.
3 pontot kapott:9 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai