A B. 4567. feladat (2013. október)

B. 4567. Határozzuk meg az összes olyan $f\colon \mathbb{R} \backslash \{0, 1\} \to \mathbb{R}$ függvényt, amely teljesíti az

$f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=2-2x$

összefüggést.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Tetszőleges $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}$ számra

$\displaystyle \tag{1} f\left(\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\right)+f\left(\frac{1}{1-x_{0}}\right)=2-2x_{0}.$

Helyettesítsük most az eredeti egyenletben $\displaystyle x$ helyébe az $\displaystyle \dfrac{1}{1-x_{0}}\in \mathbb{R}\setminus \{0, 1\}$ számot:

$\displaystyle \tag{2} f \left(\frac{\frac{1}{1-x_{0}}-1}{\frac{1}{1-x_{0}}}\right)+ f\left(\frac{1}{1-\frac{1}{1-x_{0}}}\right) = f (1-1+x_{0})+ f\left(\frac{1-x_{0}}{1-x_{0}-1}\right)= $

$\displaystyle = f(x_{0})+ f\left(\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\right)=2-2\cdot \frac{1}{1-x_{0}}.$

Most pedig alkalmazzunk $\displaystyle x=\frac{x_{0}-1}{x_{0}}$ helyettesítést.

$\displaystyle \tag{3} f\left(\frac{\frac{x_{0}-1}{x_{0}}-1}{\frac{x_{0}-1}{x_{0}}}\right) +f\left(\frac{1}{1-\frac{x_{0}-1}{x_{0}}}\right) =f\left(\frac{x_{0}-1-x_{0}}{x_{0}-1}\right) +f\left(\frac{x_{0}}{x_{0}-x_{0}+1}\right)= $

$\displaystyle = f\left(\frac{1}{1-x_{0}}\right)+ f (x_{0})=2-2\cdot \frac{x_{0}-1}{x_{0}}.$

A $\displaystyle (2)$ és $\displaystyle (3)$ egyenletek összegéből vonjuk ki az eredeti $\displaystyle (1)$ egyenletet, majd osszunk 2-vel és írjunk az egyenletben $\displaystyle x_{0}$ helyett $\displaystyle x$-et.

$\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}. $

Az eredeti függvényegyenletbe helyettesítve ellenőrízhető, hogy ez a függvény valóban megoldás is:

$\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x}\right)+ f\left(\frac{1}{1-x}\right)= $

$\displaystyle = \frac{x-1}{x} +\frac{x}{x-1} +\frac{1}{\frac{x-1}{x}-1} +\frac{1}{1-x}+(1-x) +\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}= $

$\displaystyle = \frac{x-1}{x}+1-x+(1-x)+\frac{1-x}{x}=2-2x.$

Szabó Tímea (Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

97 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 53 versenyző.

4 pontot kapott: 31 versenyző.

3 pontot kapott: 5 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai

97 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	31 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?