A B. 4585. feladat (2013. december)

B. 4585. Bizonyítsuk be, hogy ha x₁ $\ge$ x₂ $\ge$ x₃ $\ge$ x₄ $\ge$ x₅ $\ge$ 0, akkor

${(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)}^2\ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big).$

Mi az egyenlőség feltétele?

Javasolta: Erben Péter és Pataki János (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az x₁ $\ge$ x₂ $\ge$ x₃ $\ge$ x₄ $\ge$ x₅ $\ge$ 0 feltételből látjuk, hogy

(x₁+x₂+x₃+x₄+x₅)² $\ge$ (4x₄+x₅)²,

(1)

és egyenlőség akkor van, ha x₁=x₂=x₃=x₄.

Elég tehát azt igazolnunk, hogy

$(4x_4+x_5)^2 \ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big).$

(2)

Egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva,

$(4x_4+x_5)^2 -\frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big) = \frac12(x_4-x_5)(7x_4+23x_5) \ge0.$

Mivel mindkét tényező nemnegatív, ez biztosan teljesül. Az egyenlőség feltétele, hogy valamelyik tényező 0 legyen. Az (x₄-x₅) tényező akkor tűnik el, ha x₄=x₅. A (7x₄+23x₅) tényező pedig, mivel a tagok nemnegatívak, csak úgy lehet 0, ha x₄=x₅=0. A (2)-ben az egyenlőség feltétele tehát az, hogy x₄=x₅.

Az (1) és a (2) együtt kiadja az állítást. Egyenlőség akkor van, ha x₁=x₂=x₃=x₄=x₅.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 93 versenyző.

2 pontot kapott: 40 versenyző.

1 pontot kapott: 32 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

Nem versenyszerű: 5 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai

175 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	93 versenyző.
2 pontot kapott:	40 versenyző.
1 pontot kapott:	32 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?