A B. 4605. feladat (2014. február)

B. 4605. Tegyük fel, hogy $\alpha$ és $\beta$ olyan, egymástól különböző valós számok, amelyek közül legalább az egyik nem egész. Igaz-e, hogy biztosan létezik olyan n pozitív egész szám, amelyre $\alpha$ ⁿ- $\beta$ ⁿ nem egész?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy biztosan létezik ilyen $\displaystyle n$. Ha sem $\displaystyle n=1$, sem $\displaystyle n=2$ nem megfelelő, akkor $\displaystyle \alpha-\beta\ne 0$ és $\displaystyle \alpha^2-\beta^2$ egész számok. Így $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}$ racionális szám, és ezért $\displaystyle \alpha=\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}$ és $\displaystyle \beta=\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}$ is racionálisak. Hozzuk az $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ racionális számokat közös nevezőre: $\displaystyle \alpha=\frac{a}{c},\beta=\frac{b}{c}$, ahol feltehető, hogy $\displaystyle (a,b,c)=1$. Az $\displaystyle \alpha^n-\beta^n$ szám pontosan akkor egész, ha $\displaystyle c^n$ osztja az

$\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}) $

számot. Az $\displaystyle n=1$ esetből $\displaystyle c|a-b$ adódik, vagyis $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ azonos maradékot adnak $\displaystyle c$-vel osztva. Mivel $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ közül legalább az egyik nem egész, ezért $\displaystyle |c|\ne 1$, vagyis a $\displaystyle c$ egész számnak létezik $\displaystyle p$ prímosztója. Mivel $\displaystyle c|a-b$, ezért $\displaystyle a\equiv b\ (p)$, és így $\displaystyle a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\equiv na^{n-1}\ (p)$. Mivel $\displaystyle (a,b,c)=1$, ezért $\displaystyle p\nmid a$, hiszen akkor $\displaystyle p|b$-nek is teljesülnie kellene, és $\displaystyle p|(a,b,c)$ adódna. Így, ha az $\displaystyle n$ szám nem osztható $\displaystyle p$-vel, akkor abból, hogy $\displaystyle c^n|a^n-b^n$ következik, hogy $\displaystyle p^n|a-b$-nek is teljesülnie kell, hiszen az $\displaystyle a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}$ összegnek nem osztója $\displaystyle p$. Elég tehát mutatni egy olyan $\displaystyle n$ pozitív egész számot, amelyre $\displaystyle p\nmid n$ és $\displaystyle p^n\nmid a-b$. Mivel $\displaystyle a-b$ egy 0-tól különböző egész szám, ezért ilyen $\displaystyle n$ nyilvánvalóan létezik: például $\displaystyle n=p|a-b|+1$ megfelelő, vagyis biztosan létezik olyan $\displaystyle n$, amelyre $\displaystyle \alpha^n-\beta^n$ nem egész.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Williams Kada, Zsók Bianka.

4 pontot kapott: Cseh Kristóf, Fekete Panna, Kabos Eszter, Mócsy Miklós.

3 pontot kapott: 4 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 10 versenyző.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Williams Kada, Zsók Bianka.
4 pontot kapott:	Cseh Kristóf, Fekete Panna, Kabos Eszter, Mócsy Miklós.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?