 |
A B. 4606. feladat (2014. február) |
B. 4606. Oldjuk meg a pozitív számok körében az
egyenletet.
(Matlap, Kolozsvár)
(3 pont)
A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy az \(\displaystyle x=1\) megoldása az egyenletnek. A továbbiakban azt fogjuk belátni, hogy az összes többi pozitív valós számra
\(\displaystyle \frac{x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}+\cfrac{1}{x}\cdot 2014^x}{2}>2014. \)
Írjuk fel a pozitív \(\displaystyle a=x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\), \(\displaystyle b=\frac{1}{x}\cdot 2014^x\) számokra a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\,. \)
A bal oldal éppen az eredeti egyenlet bal oldala. A jobb oldal pedig a következőképpen alakítható:
\(\displaystyle \sqrt{ab} =\sqrt{x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\cdot \frac{1}{x}\cdot 2014^x} =\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\cdot 2014^x}=\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{1}{x}+x}}} =\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{x}}}}= \)
\(\displaystyle = 2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{2x}}}.\)
A továbbiakban belátjuk, hogy minden \(\displaystyle x\ne 1\) pozitív számra
\(\displaystyle 2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{2x}}}>2014. \)
Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ez éppen
\(\displaystyle \frac{x^2+1}{2x} >1, \)
\(\displaystyle \frac{x^2+1}{2x}-1 >0, \)
\(\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{2x} >0, \)
\(\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{2x} >0,\)
ami nyilván igaz.
Tehát az egyenletnek egyetlen pozitív megoldása van, az 1.
Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.)
Statisztika:
160 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 77 versenyző. 2 pontot kapott: 41 versenyző. 1 pontot kapott: 37 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2014. februári matematika feladatai