A B. 4607. feladat (2014. február)

B. 4607. Az a, b, c oldalú háromszög beírt körének középpontján átmenő egyenes a c oldalt P-ben, a b oldalt pedig Q-ban metszi. Legyen AP=p és AQ=q. Bizonyítsuk be, hogy

Kacsó Ferenc (Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a háromszög csúcsait a szokásos módon \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), a beírt kör középpontját \(\displaystyle O\), sugarát \(\displaystyle r\), az \(\displaystyle A\)-nál lévő szög pedig legyen \(\displaystyle \alpha\).

Írjuk fel az \(\displaystyle APQ\) háromszög területét kétféleképpen:

\(\displaystyle T_{APQ}=\frac{pq\sin \alpha}{2} \quad \text{és} \quad T_{APQ}=T_{APO}+T_{AOQ}=\frac{pr}{2}+\frac{qr}{2}=\frac{(p+q)r}{2}. \)

Ebből kapjuk, hogy

\(\displaystyle \tag{1} pq\sin \alpha =(p+q)r.\)

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét kétféleképpen felírva pedig:

\(\displaystyle T_{ABC}=\frac{(a+b+c)r}{2}=\frac{bc\sin \alpha}{2}, \)

azaz

\(\displaystyle \tag{2} (a+b+c)r=bc\sin \alpha\)

adódik. Az (1) és (2) egyenlőségek megfelelő oldalait összeszorozva kapjuk, hogy

\(\displaystyle pq\sin \alpha \cdot (a+b+c)r=(p+q)r \cdot bc\sin \alpha, \)

amiből \(\displaystyle bcpqr\sin \alpha \ne 0\)-val való osztás és rendezés után a bizonyítandó

\(\displaystyle \frac{a+b+c}{bc} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \)

egyenlőséget kapjuk.

Török Zsombor (Bonyhád, Petőfi Sándor Ev. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

77 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	72 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai