A B. 4609. feladat (2014. február)

B. 4609. Melyik az a legkisebb pozitív c szám, amelyre igaz, hogy tetszőleges $a_1,a_2,\ldots,a_n$ valós számok közül kiválasztható néhány, amelyek összegének a hozzá legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb c?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy a legkisebb ilyen szám $\displaystyle c=\frac{1}{n+1}$. Először is, az $\displaystyle a_1=a_2=\dots=a_n=\frac{1}{n+1}$ esetben a lehetséges összegek $\displaystyle \frac{1}{n+1},\frac{2}{n+1},\dots,\frac{n}{n+1}$, amiből látható, hogy $\displaystyle \frac{1}{n+1}$-nél kisebb $\displaystyle c$-re nem teljesül az állítás. Most pedig igazolni fogjuk, hogy $\displaystyle c=\frac{1}{n+1}$-re már igen. Legyenek tehát $\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n$ tetszőleges valós számok, és tekintsük az $\displaystyle s_i=a_1+a_2+\dots+a_i$ összegeket ($\displaystyle 1\leq i\leq n$). Ha ezek között van olyan, amelynek törtrésze legfeljebb $\displaystyle \frac{1}{n+1}$, vagy legalább $\displaystyle \frac{n}{n+1}$, akkor készen is vagyunk, hiszen egy ilyen összegnek a legközelebbi egésztől vett eltérése legfeljebb $\displaystyle \frac{1}{n+1}$. Ha pedig nincs köztük ilyen, akkor a skatulya-elv miatt a $\displaystyle \left[\frac{k}{n+1},\frac{k+1}{n+1} \right]$ intervallumok ($\displaystyle 1\leq k\leq n-1$) közül legalább az egyikbe két összeg is esik, mondjuk $\displaystyle s_i$ és $\displaystyle s_j$ (ahol $\displaystyle i<j$). Ekkor viszont az $\displaystyle s_j-s_i=a_{i+1}+\dots +a_j$ összeg legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb $\displaystyle \frac{1}{n+1}$. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: Ágoston Péter, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Szőke Tamás, Várkonyi Dorka, Williams Kada.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 7 versenyző.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai

34 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ágoston Péter, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Szőke Tamás, Várkonyi Dorka, Williams Kada.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?