A B. 4615. feladat (2014. március)

B. 4615. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög mindegyik szöge kisebb, mint \(\displaystyle 120^{\circ}\). A háromszög izogonális pontja \(\displaystyle P\). A \(\displaystyle P\) ponton keresztül húzzunk párhuzamos egyeneseket az oldalakkal. A párhuzamosok metszete az \(\displaystyle AB\) oldallal \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BC\) oldallal \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\), a \(\displaystyle CA\) oldallal pedig \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle I\). Legyenek a \(\displaystyle DEP\), \(\displaystyle FGP\), \(\displaystyle HIP\) háromszögek izogonális pontjai \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\) és \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle KLM\) háromszög szabályos.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ismert, hogy az izogonális pont úgy is megszerkeszthető, hogy a háromszög oldalaira kifelé szabályos háromszögeket szerkesztünk, majd ezek külső csúcsait az eredeti háromszög ellentétes csúcsával összekötjük. A három összekötő szakasz egy pontban, a háromszög izogonális pontjában metszi egymást. Legyenek az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CA\) oldalakra kifelé rajzolt szabályos háromszögek harmadik csúcsai rendre \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle Z\). Az is ismert, hogy a \(\displaystyle P\)-nél keletkező hat darab szög mindegyike \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os.

A \(\displaystyle CU\) egyenes egybeesik a \(\displaystyle PK\) egyenessel, hiszen a \(\displaystyle PDE\) háromszög minden oldala párhuzamos az \(\displaystyle ABC\) háromszög megfelelő oldalaival, tehát a csúcsokból az izogonális pontba menő egyenesek is párhuzamosak. Mivel ezek a két háromszög esetében átmennek a \(\displaystyle P\) ponton is, ezért egybeesnek. Ugyanezt beláthatjuk a \(\displaystyle GPF\) és \(\displaystyle HPI\) háromszögeknél is a megfelelő oldalakkal. Ugyanezzel a módszerrel azt is bizonyíthatjuk, hogy a \(\displaystyle HAE\), \(\displaystyle DBG\) és \(\displaystyle FCI\) háromszögek izogonális pontjai is rajta vannak a \(\displaystyle P\) pontot a megfelelő csúccsal összekötő szakaszokon. Legyenek ezek az izogonális pontok rendre \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\). A \(\displaystyle KLM\) háromszög izogonális pontja \(\displaystyle P\), mert az eddigiek alapján \(\displaystyle MPK\sphericalangle=KPL\sphericalangle= LPM\sphericalangle= 120^{\circ}\). Most használjuk fel azt a fentebb már említett tulajdonságot, hogy az izogonális pontnál keletkező szögek mindegyike \(\displaystyle 60^{\circ}\). A \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\), \(\displaystyle S\) pontok mindegyike izogonális pont, tehát a \(\displaystyle PKR\), \(\displaystyle RPL\), \(\displaystyle LPS\), \(\displaystyle SPM\), \(\displaystyle MPQ\) és \(\displaystyle QPK\) háromszögek mindegyike szabályos, egymással egybevágó háromszög. A \(\displaystyle KPL\), \(\displaystyle LPM\) és \(\displaystyle LPM\) háromszögek \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os szárszögű egyenlő szárú háromszögek, az alapon fekvő szögek \(\displaystyle 30^{\circ}\)-osak, a \(\displaystyle KLM\) háromszög tehát szabályos.

Kocsis Júlia (Dunakeszi, Radnóti Miklós Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adorján Dániel, Ágoston Péter, Andi Gabriel Brojbeanu, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Bodolai Előd, Cseh Kristóf, Csépai András, Demeter Dániel, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Forrás Bence, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Jenei Dániel Gábor, Kacz Dániel, Katona Dániel, Kocsis Júlia, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Sándor Krisztián, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Stein Ármin, Szebellédi Márton, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bősze Zsófia, Sal Kristóf, Torma Bence, Zarándy Álmos.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai