A B. 4635. feladat (2014. május)

B. 4635. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle AB<AC\). A háromszög köré írt kör középpontja \(\displaystyle O\), a magasságpont \(\displaystyle M\). Szerkesszük meg a \(\displaystyle BC\) oldalszakaszon azt a \(\displaystyle P\) pontot, amelyre \(\displaystyle AOP\sphericalangle = PMA\sphericalangle\).

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle P\) a kívánt tulajdonságú pont a \(\displaystyle BC\) szakaszon. Ekkor \(\displaystyle AOP\sphericalangle =PMA\sphericalangle\), amit jelöljünk \(\displaystyle \beta\)-val.

Tükrözzük az \(\displaystyle M\) pontot a \(\displaystyle BC\) oldalra, tükörképe legyen \(\displaystyle M'\), ami rajta van a háromszög köré írt körön. A tükrözés miatt \(\displaystyle PMM'\sphericalangle =PM'M\sphericalangle\), melyet jelöljön \(\displaystyle \alpha\).

Mivel \(\displaystyle AMP\sphericalangle +PMM'\sphericalangle =\beta +\alpha =180^{\circ}\), az \(\displaystyle AOPM'\) négyszög húrnégyszög, hiszen két szemközti szögének összege: \(\displaystyle AOP\sphericalangle +PM'M\sphericalangle =\beta +\alpha =180^{\circ}\).

Ezek alapján a \(\displaystyle P\) pont szerkesztése: Az \(\displaystyle M\) magasságpontot tükrözzük a \(\displaystyle BC\) oldalra, majd megszerkesztjük az \(\displaystyle AOM'\) háromszög körülírt körét, ez a kör a \(\displaystyle BC\) oldalt a \(\displaystyle P\) pontban metszi. Mivel \(\displaystyle AB<AC\), az \(\displaystyle AOM'\) háromszög sosem lesz elfajuló, és mindig csak egy megoldás van, mivel a két körülírt kör \(\displaystyle A\)-ban és \(\displaystyle M'\)-ben metszi egymást, így az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körén belül csak egy metszéspontja lehet az \(\displaystyle AOM'\) háromszög köré írt körnek és a \(\displaystyle BC\) oldalnak.

Csitári Nóra (Budapesti Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Csitári Nóra, Fonyó Viktória, Glattfelder Hanna, Kuchár Zsolt, Nagy-György Pál, Németh Hanna, Sal Kristóf, Szakács Lili Kata, Williams Kada.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai