A B. 4649. feladat (2014. szeptember)

B. 4649. Legyenek a síkon \(\displaystyle e_1,e_2,\dots,e_n\) különböző egyenesek, \(\displaystyle f\) pedig egy olyan egyenes, mely egyikükkel sem párhuzamos. Tekintsük az \(\displaystyle f\)-fel párhuzamos összes \(\displaystyle f_{\alpha}\) egyenest. Legyen \(\displaystyle S_{\alpha}\) az \(\displaystyle f_{\alpha}\cap e_1, f_{\alpha}\cap e_2, \ldots, f_{\alpha}\cap e_n\) pontok súlypontja. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle S_{\alpha}\) pontok kollineárisak.

Javasolta: Csikós Balázs (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle S_{0}\) az \(\displaystyle f\cap e_1,f\cap e_2,\dots,f\cap e_n\) pontok súlypontja. Ekkor \(\displaystyle S_0\) nyilván rajta van az \(\displaystyle f\) egyenesen. Vegyünk fel egy Descartes-féle derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy az origója \(\displaystyle S_0\) legyen, az \(\displaystyle y\) tengely egyenese pedig essen egybe \(\displaystyle f\)-fel. Ebben a koordinátarendszerben \(\displaystyle f\) egyenlete \(\displaystyle X=0\), az \(\displaystyle e_i\) egyenes egyenlete pedig minden \(\displaystyle i=1,2,\dots,n\) esetén felírható \(\displaystyle Y=m_iX+b_i\) alakban, mert ezen egyenesek egyike sem párhuzamos \(\displaystyle f\)-fel.

Ha az \(\displaystyle f\)-fel párhuzamos \(\displaystyle f_{\alpha}\) egyenes egyenlete \(\displaystyle X=\alpha\), akkor az \(\displaystyle f_{\alpha}\cap e_i\) pont koordinátái \(\displaystyle (\alpha, m_i\alpha +b_i)\). Tehát a súlypont koordinátáinak kiszámítására vonatkozó szabály alapján \(\displaystyle \alpha =0\) esetén kapjuk, hogy

\(\displaystyle S_0=(0,0)=\left(0,\frac{\sum_{i=1}^n b_i}{n}\right), \)

azaz \(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i=0\), általában pedig

\(\displaystyle S_{\alpha}= \left(\frac{n\alpha}{n}, \frac{\sum_{i=1}^n(m_i\alpha +b_i)}{n}\right) = \left(\alpha, \frac{\sum_{i=1}^nm_i\alpha}{n}+\frac{\sum_{i=1}^n b_i}{n}\right) = \left(\alpha, \frac{\sum_{i=1}^nm_i\alpha}{n}\right). \)

Az \(\displaystyle S_0\) és \(\displaystyle S_{\alpha}\) \(\displaystyle (\alpha \ne 0)\) pontok összekötő egyenesének egyenletét az ismert képlet szerint felírva, majd azt rendezve kapjuk, hogy

\(\displaystyle (\alpha -0)(Y-0) =\left(\frac{\sum_{i=1}^nm_i\alpha}{n}-0\right) (X-0),\)

\(\displaystyle \alpha Y = \frac{\sum_{i=1}^nm_i\alpha}{n}X,\)

\(\displaystyle Y =\frac{\sum_{i=1}^nm_i}{n}X. \tag{1}\)

Ebben az egyenletben nem szerepel \(\displaystyle \alpha\), vagyis az \(\displaystyle S_{\alpha}\) pont az \(\displaystyle \alpha\) értékétől függetlenül rajta van az \(\displaystyle (1)\) egyenletű egyenesen, tehát az \(\displaystyle S_{\alpha}\) pontok kollineárisak.

Csépai András (Dunakeszi, Radnóti M. Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Bursics Balázs, Cseh Kristóf, Csépai András, Englert Franciska, Fekete Panna, Gáspár Attila, Hansel Soma, Juhász 326 Dániel, Kerekes Anna, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Kőrösi Ákos, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Olexó Gergely, Öreg Botond, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tomcsányi Gergely, Tóth Viktor, Váli Benedek, Varga-Umbrich Eszter, Williams Kada, Zsakó Ágnes.
5 pontot kapott:	Alexy Marcell, Andó Angelika, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Imolay András, Kátay Tamás, Katona Dániel, Mócsy Miklós, Sal Kristóf, Telek Máté László, Tompa Tamás Lajos.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai