A B. 4678. feladat (2015. január)

B. 4678. Annipanni és Boribon felváltva számjegyeket írnak egymás mellé, balról jobbra haladva a papíron. Annipanni kezd egy 0-tól különböző számjeggyel. Addig folytatják a játékot, amíg egy 100-jegyű számot nem kapnak. Boribon nyer, ha a kapott szám 11-gyel osztva 5 maradékot ad, ellenkező esetben Annipanni. Mind a ketten nagyon tudják a matekot. Melyikük nyeri meg a játékot?

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Az egyikük tud nyerni, ha ügyesen utánoz.

Megoldás. Annipanninak van nyerő stratégiája, például a következő: 5-össel kezd, ezután pedig mindig azt a számot írja le, amit előzőleg Boribon. Boribon bármilyen \(\displaystyle b\) számjegyet is ír a végére, nem keletkezhet 5-ös maradék. Ennek az az oka, hogy egy szám 11-es maradéka megegyezik a számjegyei váltakozó előjellel képezett összegének a 11-es maradékával, ha az 1-es helyiértékű jegyet pozitív, a 10-es helyiértékűt negatív előjellel vesszük, stb. Így a szám ,,belsejében'' egymás mellett álló egyenlő számjegyek ellentétes előjelet kapnak, ezért összeadva nullát adnak, tehát a 100-jegyű szám 11-es maradéka egyenlő \(\displaystyle b-5\)-nek a 11-es maradékával. Ez sosem lehet 5, hiszen különben \(\displaystyle (b-5)-5=b-10\) osztható lenne 11-gyel, ami nyilván lehetetlen, mivel \(\displaystyle 0\le b \le 9\) miatt \(\displaystyle -10\le b-10\le -1\).

Mócsy Miklós (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)

Statisztika:

176 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	85 versenyző.
3 pontot kapott:	42 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	21 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai