A B. 4680. feladat (2015. január)

B. 4680. Határozzuk meg a

\(\displaystyle 3^{n}=2n^2+1 \)

egyenlet egész megoldásait.

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Melyik oldal nagyobb?

Megoldás. A \(\displaystyle 2n^2+1\) kifejezésnek minimuma van \(\displaystyle n=0\) esetén, itt a jobb oldal értéke \(\displaystyle 1\). Ebből azonnal következik, hogy \(\displaystyle 3^n<1\)-re, azaz \(\displaystyle n<0\)-ra az egyenletnek nincs megoldása.

\(\displaystyle n=0\)-ra: \(\displaystyle 3^n = 2n^2+1 = 1\), ez az első megoldás.

\(\displaystyle n=1\)-re: \(\displaystyle 3^n = 2n^2+1 = 3\), ez a második megoldás.

\(\displaystyle n=2\)-re: \(\displaystyle 3^n = 2n^2+1 = 9\), ez a harmadik megoldás.

Pozitív egészek esetén az \(\displaystyle n\) értékét \(\displaystyle 1\)-gyel növelve a bal oldal növekménye: \(\displaystyle 3^{n+1}-3^n = 2\cdot 3^n\), mindig az aktuális érték 2-szerese.

A jobb oldal növekménye ugyanekkor: \(\displaystyle 2{(n+1)}^2 +1-\big(2n^2 +1\big) = 4n+2\). Ez kisebb, mint \(\displaystyle 2\big(2n^2+1\big)\), ha \(\displaystyle n\ge 2\).

A jobb oldal tehát \(\displaystyle n>2\) esetén az aktuális érték 2-szeresénél lassabban növekszik, így nincs több megoldása az egyenletnek ebben a tartományban.

Az egyenlet megoldásai: \(\displaystyle n=0\), \(\displaystyle n=1\), \(\displaystyle n=2\).

Adorján Dániel (Budapest, Szent István Gimnázium, 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

181 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	99 versenyző.
2 pontot kapott:	40 versenyző.
1 pontot kapott:	33 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai