A B. 4701. feladat (2015. március)

B. 4701. Legyen \(\displaystyle A_1 B_1 C_1 D_1\) egy négyszög. Ha valamilyen \(\displaystyle n\) pozitív egészre az \(\displaystyle A_n B_n C_n D_n\) pontnégyest már definiáltuk, akkor legyen \(\displaystyle A_{n+1}\) a \(\displaystyle B_{n}C_{n}D_{n}\) háromszög súlypontja; a pontok szerepének ciklikus cseréjével hasonlóan definiáljuk a \(\displaystyle B_{n+1}\), \(\displaystyle C_{n+1}\) és \(\displaystyle D_{n+1}\) pontokat is. Mutassuk meg, hogy akármilyen nagy négyszögből indultunk is ki, az \(\displaystyle A_n\) pontsorozatnak csak véges sok tagja esik az \(\displaystyle A_1 B_1 C_1 D_1\) négyszög súlypontja köré írt egységsugarú körön kívülre.

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Válasszuk origónak a súlypontot.

Megoldás. Használjunk az \(\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) négyszög \(\displaystyle S\) súlypontjából induló helyvektorokat, betűzzük őket a végpontjuknak megfelelő kisbetűkkel; ekkor

\(\displaystyle \frac{\mathbf{a_{1}}+\mathbf{b_{1}}+\mathbf{c_{1}}+\mathbf{d_{1}}}{4} =\mathbf{s}=\mathbf{0}, \quad\text{vagyis}\quad \mathbf{a_{1}}+\mathbf{b_{1}}+\mathbf{c_{1}} +\mathbf{d_{1}}=\mathbf{0}. \)

Állítsuk elő az \(\displaystyle \overrightarrow{{SA}_{2}}=\mathbf{a_{2}}\) vektort:

\(\displaystyle \mathbf{a_{2}}= \frac{\mathbf{b_{1}}+\mathbf{c_{1}}+\mathbf{d_{1}}}{3}=-\frac{1}{3}\mathbf{a_{1}}. \)

Hasonlóan állíthatjuk elő az \(\displaystyle \overrightarrow{{SB}_{2}} =\mathbf{b_{2}}\), \(\displaystyle \overrightarrow{{SC}_{2}} =\mathbf{c_{2}}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{{SD}_{2}} =\mathbf{d_{2}}\) vektorokat.

Állítás: \(\displaystyle \mathbf{a_{n}}= \big(\!-\frac{1}{3}\big)^{n-1}\mathbf{a_{1}}\) minden \(\displaystyle n>1\), \(\displaystyle n\in N\) esetén; és hasonlóan a \(\displaystyle \mathbf{b_{n}}\), \(\displaystyle \mathbf{c_{n}}\), \(\displaystyle \mathbf{d_{n}}\) vektorokra.

Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk.

\(\displaystyle n=2-\)re láttuk, hogy igaz.

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\)-re igaz és lássuk be \(\displaystyle n+1\)-re.

\(\displaystyle \mathbf{a_{n+1}} = \frac{\mathbf{b_{n}}+\mathbf{c_{n}}+\mathbf{d_{n}}}{3}=\frac{1}{3}\cdot \left( \left( -\frac{1}{3} \right)^{\!\!n-1}\mathbf{b_{1}}+\left( -\frac{1}{3} \right)^{\!\!n-1}\mathbf{c_{1}}+\left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1}\mathbf{d_{1}} \right)=\)

\(\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)^{\!\!n-1}\left( \mathbf{b_{1}}+\mathbf{c_{1}}+\mathbf{d_{1}} \right)=\frac{1}{3}\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)^{\!\!n-1}\left( -\mathbf{a_{1}} \right)=\left( -\frac{1}{3} \right)^{\!\!n}\mathbf{a_{1}}.\)

Hasonló gondolatmenettel belátható az állítás a másik három \(\displaystyle n+1\) indexű vektorra.

Így az \(\displaystyle {SA}_{n}\), \(\displaystyle {SB}_{n}\), \(\displaystyle {SC}_{n}\), \(\displaystyle {SD}_{n}\) szakaszok egyre rövidülnek, hosszuk minden határon túl csökken, vagyis véges \(\displaystyle k\) küszöbindex után az \(\displaystyle n>k\) indexű \(\displaystyle A_{n}\) pontok mind az \(\displaystyle S\) középpontú egységsugarú körön belül lesznek, tehát csak véges számú ilyen pont esik a körön kívülre.

Szász Dániel Soma (Szeged, Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

51 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Csorba Benjámin, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gál Hanna, Gáspár Attila, Hansel Soma, Hraboczki Attila Márton, Katona Dániel, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 162 Viktória, Leitereg Miklós, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy-György Pál, Németh 123 Balázs, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szász Dániel Soma, Szebellédi Márton, Tóth Viktor, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Vankó Miléna, Varga-Umbrich Eszter, Wei Cong Wu, Williams Kada, Záhorský Ákos, Zsakó Ágnes.
3 pontot kapott:	Alexy Marcell, Cseh Kristóf, Czirkos Angéla, Gyulai-Nagy Szuzina, Kuchár Zsolt, Lajkó Kálmán, Nagy-György Zoltán, Porupsánszki István.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai