 |
A B. 4704. feladat (2015. március) |
B. 4704. A \(\displaystyle k_1\) kör belülről érinti a különböző sugarú \(\displaystyle k_2\) és a \(\displaystyle k_3\) köröket, a \(\displaystyle k_2\) és a \(\displaystyle k_3\) pedig belülről érinti a \(\displaystyle k_4\) kört. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_4\) hatványvonala átmegy \(\displaystyle k_2\) és \(\displaystyle k_3\) külső hasonlósági pontján.
(6 pont)
A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Jelöljük \(\displaystyle H\)-val a \(\displaystyle k_2\) és \(\displaystyle k_3\) külső hasonlósági pontját. Jelöljük \(\displaystyle T_{ij}\)-vel a \(\displaystyle k_i\) és \(\displaystyle k_j\) körök érintési pontját (\(\displaystyle (i,j)=(1,2),(1,3),(2,4),(3,4)\)). A \(\displaystyle T_{12}T_{13}\) és \(\displaystyle T_{24}T_{34}\) egyeneseknek a körökkel vett metszéspontjait jelöljük az ábra szerint.
Az állítás ekvivalens azzal, hogy a \(\displaystyle H\) pontnak a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_4\) körökre vonatkozó hatványa ugyanakkora, ezért elég azt igazolnunk, hogy \(\displaystyle HT_{24}\cdot HT_{34} = HT_{12}\cdot HT_{13}\).
Alkalmazzuk a Monge-tételt a \(\displaystyle k_1,k_2,k_3\) körökre. A \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) külső hasonlósági pontja \(\displaystyle T_{12}\); a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_3\) külső hasonlósági pontja \(\displaystyle T_{13}\); ezért \(\displaystyle T_{12}\), \(\displaystyle T_{13}\) és \(\displaystyle H\) egy egyenesen van.
Hasonlóan, a \(\displaystyle k_2\) és \(\displaystyle k_4\) külső hasonlósági pontja \(\displaystyle T_{24}\); a \(\displaystyle k_3\) és \(\displaystyle k_4\) külső hasonlósági pontja \(\displaystyle T_{34}\); ezért \(\displaystyle T_{24}\), \(\displaystyle T_{34}\) és \(\displaystyle H\) is egy egyenesen van.
Ha a \(\displaystyle H\) pontból a \(\displaystyle k_3\) kört a \(\displaystyle k_2\) körbe nagyítjuk, akkor Az \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle T_{13}\), a \(\displaystyle T_{34}\), illetve a \(\displaystyle D\) pont képe rendre a \(\displaystyle T_{24}\), a \(\displaystyle C\), a \(\displaystyle B\), illetve a \(\displaystyle T_{12}\) pont lesz. Ezért
| \(\displaystyle \frac{HT_{24}}{HA} = \frac{HC}{HT_{13}} = \frac{HB}{HT_{34}} = \frac{HT_{12}}{HD}. \) | (1) |
Ezen kívül a \(\displaystyle H\) körnek a \(\displaystyle k_2\) és \(\displaystyle k_3\) körre vonatkozó hatványa
| \(\displaystyle HB\cdot HT_{24} = HC \cdot HT_{12}, \quad\text{illetve}\quad HA\cdot HT_{34} = HD \cdot HT_{13}. \) | (2) |
Az (1) és (2)-beli összefüggésekből
\(\displaystyle \frac{HT_{24}\cdot HT_{34}}{HT_{12}\cdot HT_{13}} = \frac{HT_{24}}{HA} \cdot \frac{HA\cdot HT_{34}}{HT_{13} \cdot HT_{12}} = \frac{HT_{12}}{HD} \cdot \frac{HD\cdot HT_{13}}{HT_{13} \cdot HT_{12}} = 1, \)
vagyis \(\displaystyle HT_{24}\cdot HT_{34} = HT_{12}\cdot HT_{13}\).
Statisztika:
15 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Cseh Kristóf, Csépai András, Fekete Panna, Nagy-György Pál, Polgár Márton, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Williams Kada. 5 pontot kapott: Lajkó Kálmán. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai