 |
A B. 4709. feladat (2015. április) |
B. 4709. Oldjuk meg az
\(\displaystyle x^{2}+y^{2}=13,\)
\(\displaystyle x^{3}+y^{3}=35\)
egyenletrendszert.
Javasolta: Szoldatics József (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.
Megoldási ötlet: Vezessünk be új ismeretleneket: \(\displaystyle u=x+y\), \(\displaystyle v=xy\).
Megoldás. Vezessünk be új ismeretleneket. Legyen \(\displaystyle a=x+y\) és \(\displaystyle b=xy\). Ekkor
\(\displaystyle x^{2}+y^{2}= {(x+y)}^{2}-2xy=a^{2}-2b=13 \)
és
\(\displaystyle x^{3}+y^{3}= {(x+y)}^{3}-3xy(x+y)=a^{3}-3ab=a \big(a^{2}-3b\big)=35. \)
Így az új egyenletrendszer:
\(\displaystyle \tag{1} a^{2}-2b =13,\)
\(\displaystyle \tag{2} a \big(a^{2}-3b\big) =35.\)
Az (1) egyenlet háromszorosából: \(\displaystyle -6b=3 \big(13-a^{2}\big)\).
A (2) egyenlet kétszereséből: \(\displaystyle a\big({2a}^{2}-6b\big)=70\).
Ebbe behelyettesítve az előzőt: \(\displaystyle a\Big({2a}^{2}+3\big(13-a^{2}\big)\!\Big)=70\).
A kapott egyenlet harmadfokú:
\(\displaystyle a^{3}-39a+70=0. \)
Vegyük észre, hogy az eredeti egyenletrendszernek \(\displaystyle x=2\) és \(\displaystyle y=3\) megoldása, vagyis \(\displaystyle a=5\) megoldása a harmadfokú egyenletnek.
Osszuk el a bal oldalt \(\displaystyle (a-5)\)-tel:
\(\displaystyle \frac{a^{3}-39a+70}{a-5} =a^{2}+5a-14. \)
Az \(\displaystyle a^{2}+5a-14=0\) másodfokú egyenlet megoldásai \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle a=-7\). Ezek alapján \(\displaystyle a^{3}-39a+70=(a-5)(a-2)(a+7)=0\).
Az (1) egyenletből \(\displaystyle b=\frac{a^{2}-13}{2}\), így a megoldások:
\(\displaystyle a =5,\, b=6,\)
\(\displaystyle a =2,\, b=-\dfrac{9}{2},\)
\(\displaystyle a =-7,\, b =18.\)
Ebből \(\displaystyle x\) megfelelő értékeit a Viéte-formulák alkalmazásával kapjuk meg: a \(\displaystyle z^{2}-az+b=0\) egyenlet megoldásai \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) (tetszőleges sorrendben). Így
1.) \(\displaystyle a=5\), \(\displaystyle b=6\) esetén:
\(\displaystyle z^{2}-5z+6=0\), amiből
\(\displaystyle x_{1}=2,\quad y_{1}=3\quad \text{és}\quad x_{2}=3,\quad y_{2}=2.\)
2.) \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle b=-\frac{9}{2}\) esetén:
\(\displaystyle z^2-2z-\frac{9}{2}=0\), amiből:
\(\displaystyle x_{3}=1-\frac{\sqrt{22}}{2}, \quad y_{3}=1+\frac{\sqrt{22}}{2} \quad\text{és}\quad x_{4}=1+\frac{\sqrt{22}}{2}, \quad y_{4}=1-\frac{\sqrt{22}}{2}.\)
3.) \(\displaystyle a=-7\), \(\displaystyle b=18\) esetén pedig:
\(\displaystyle z^{2}+7z+18=0, \)
ekkor nem kapunk valós gyököket.
A kapott megoldások kielégítik az eredeti egyenletrendszert.
Török Zsombor Áron (Bonyhád, Petőfi Sándor Evangélikus Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 71 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző.
A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai