A B. 4711. feladat (2015. április)

B. 4711. Legyen \(\displaystyle f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}\). Számítsuk ki az

\(\displaystyle f(0/2015)+ f(1/2015)+f(2/2015)+\ldots +f(2014/2015)+f(2015/2015) \)

összeg értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Képezzünk párokat.

Megoldás. Először belátjuk, hogy

\(\displaystyle f\left(\frac{k}{n}\right) +f\left(\frac{n-k}{n}\right) =1, \quad \mathrm{minden~} n, k \in \mathbb N^{+}, \ 0\le k \le n \mathrm{~ esetén.}\)

\(\displaystyle \frac{4^{\tfrac{k}{n}}}{4^{\tfrac{k}{n}}+2} +\frac{4^{\tfrac{n-k}{n}}}{4^{\tfrac{n-k}{n}}+2} =\frac{4^{\tfrac{k}{n}}}{4^{\tfrac{k}{n}}+2} +\frac{4^{1-\tfrac{k}{n}}}{4^{1-\tfrac{k}{n}}+2}= \frac{4^{\tfrac{k}{n}}}{4^{\tfrac{k}{n}}+2} +\frac{\tfrac{4}{4^{\frac{k}{n}}}}{\tfrac{4}{4^{\frac{k}{n}}}+2}=\)

\(\displaystyle =\frac{4^{\tfrac{k}{n}}}{4^{\tfrac{k}{n}}+2}+\frac{4}{4+2\cdot 4^{\tfrac{k}{n}}} =\frac{4^{\tfrac{k}{n}}}{4^{\tfrac{k}{n}}+2} +\frac{2}{4^{\tfrac{k}{n}}+2}=1.\)

(Természetesen tetszőleges valós \(\displaystyle x\)-re bizonyítható \(\displaystyle f(x)+f(1-x)=1\). A megoldáshoz viszont elegendő a fenti megfontolás is.) Most a megoldás befejezéséhez képezzünk párokat a \(\displaystyle 2016\) függvényértékből:

\(\displaystyle f(0/2015)+f(2015/2015)=f(1/2015)+f(2014/2015)=\ldots = = f(1007/2015) +f(1008/2015)=1.\)

Mivel mindegyik párban az összeg \(\displaystyle 1\), a teljes összeg \(\displaystyle 1008\) lesz.

Páli Petra (Szegedi Radnóti Miklós Kís. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	60 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai