A B. 4732. feladat (2015. október)

B. 4732. Egy 36 fős osztály tanulóinak a matematika átlagait osztályfőnökük beírja egy \(\displaystyle 6 \times 6\)-os táblázatba. Mindegyik tanulónak más az átlaga. Az osztályfőnök megjelöli minden oszlopban a legnagyobb értéket. Azt találja, hogy a megjelölt 6 szám mind különböző sorban van. Ezek után megjelöli minden sorban a legnagyobb átlagot. Most pedig azt tapasztalja, hogy ezek mind különböző oszlopban helyezkednek el. Bizonyítsuk be, hogy a kétféle módszerrel ugyanazt a 6 átlagot jelölte meg.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Hint: keressük a maximális átlagot!

Megoldás. Jelöljük meg minden oszlopban a legnagyobb értéket. Ezek a számok mind különböző sorban vannak (1.ábra) Mivel minden átlag különböző, feltételezhetjük, hogy \(\displaystyle a_1>a_2>a_3>a_4>a_5>a_6\).

Ekkor \(\displaystyle a_1\) az átlagok maximuma. Abban a sorban, amelyikben \(\displaystyle a_1\) van, a sorba beírt legnagyobb érték nem lehet nagyobb mint \(\displaystyle a_1\), tehát csak \(\displaystyle a_1\) lehet. Tekintsük ezután \(\displaystyle a_2\)-t. Lehetséges-e, hogy \(\displaystyle a_2\) sorában van \(\displaystyle b_2> a_2\) sormaximum? Az \(\displaystyle a_1\) oszlopában nem lehet. Ha valamelyik másik oszlopban lenne, akkor \(\displaystyle b_2>a_3>a_4>a_5>a_6\) miatt valamelyik oszlopmaximumot rosszul írtuk volna be, hiszen \(\displaystyle b_2\) nagyobb nála. Tehát \(\displaystyle b_2=a_2\). Hasonlóan folytatva a gondolatmenetet beláthatjuk, hogy a kétféle módszerrel ugyanazt a 6 átlagot jelöltük meg.

Statisztika:

197 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	125 versenyző.
2 pontot kapott:	46 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai