 |
A B. 4736. feladat (2015. október) |
B. 4736. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Oldjuk meg a
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {|x_i|} = \sum_{i=1}^{n} \big|x_i^3\big| = \sum_{i=1}^{n} \frac{2 {|x_i|}^3}{x_i^2+1} \)
egyenletrendszert.
Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Feltehető, hogy mindegyik \(\displaystyle x_i\) nemnegatív, sőt - az \(\displaystyle n\) esetleges csökkenése mellett - az is, hogy pozitív. Jelölje a három összeg közös értékét \(\displaystyle s\), ekkor
\(\displaystyle s=\sum_{i=1}^{n} {x_i} = \sum_{i=1}^{n} {\frac{x_i(x_i^2+1)}{x_i^2+1}} =\sum_{i=1}^{n} {\frac{x_i^3}{x_i^2+1}} + \sum_{i=1}^{n} {\frac{x_i}{x_i^2+1}}=\frac{s}{2} + \sum_{i=1}^{n} {\frac{x_i}{x_i^2+1}}, \)
így
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {\frac{x_i}{x_i^2+1}}=\frac{s}{2}. \)
A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség szerint
\(\displaystyle s^2=\frac{s}{2}\cdot 2s=\left(\sum_{i=1}^{n} {\frac{x_i}{x_i^2+1}}\right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} {x_i(x_i^2+1)} \right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^{n} {\sqrt{\frac{x_i}{x_i^2+1}} \cdot \sqrt{x_i(x_i^2+1)}} \right)^2 =s^2. \)
Egyenlőség akkor áll fenn, ha létezik olyan \(\displaystyle \lambda\), amelyre minden \(\displaystyle i\) mellett
\(\displaystyle \lambda \frac{x_i}{x_i^2+1}=x_i(x_i^2+1), \)
azaz \(\displaystyle x_1=x_2= \ldots =x_n= \sqrt{\lambda -1}:=k\), az első egyenlet szerint pedig \(\displaystyle nk=nk^3\), vagyis \(\displaystyle k=1\). Az egyenletrendszernek tehát \(\displaystyle x_1,x_2, \ldots, x_n\) akkor és csak akkor megoldása, ha
\(\displaystyle \{ x_1,x_2, \ldots, x_n \} \subseteq \{0, 1, -1 \}. \)
Statisztika:
55 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andó Angelika, Ardai István Tamás, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Cseh Viktor, Csorba Benjámin, Döbröntei Dávid Bence, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Glasznova Maja, György Levente, Hansel Soma, Harsch Leila, Horváth András János, Horváth Miklós Zsigmond, Jakus Balázs István, Juhász 326 Dániel, Kasó Ferenc, Kerekes Anna, Keresztes László, Kocsis Júlia, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Németh 123 Balázs, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Simon Dániel Gábor, Szemerédi Levente, Tibay Álmos, Tóth Viktor, Váli Benedek. 4 pontot kapott: Lajkó Kálmán. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 19 versenyző.
A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai