A B. 4738. feladat (2015. október)

B. 4738. Az \(\displaystyle AB\) átmérőjű \(\displaystyle k\) körnek az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontoktól különböző tetszőleges pontja \(\displaystyle C\). Bocsássunk merőlegest a \(\displaystyle C\) pontból az \(\displaystyle AB\) átmérőre, a merőleges talppontja az \(\displaystyle AB\) szakaszon \(\displaystyle D\), illetve a merőlegesnek a \(\displaystyle k\) körrel való második metszéspontja \(\displaystyle E\). A \(\displaystyle C\) középpontú, \(\displaystyle CD\) sugarú kör a \(\displaystyle k\) kört a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban metszi. Legyen a \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle PQ\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\). Határozzuk meg \(\displaystyle \frac{PM}{PE} + \frac{QM}{QE}\) értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a \(\displaystyle k\) kör szimetrikus az \(\displaystyle AB\) egyenesre, az \(\displaystyle E\) pont a \(\displaystyle C\) tükörképe, így a \(\displaystyle D\) talppont felezi a \(\displaystyle CE\) szakaszt. A \(\displaystyle C\) középpontú körben \(\displaystyle CP=CQ=CD\) sugarak. Tehát a \(\displaystyle C\) pont felezi a \(\displaystyle k\) kör rövidebbik \(\displaystyle PQ\) ívét, ezért az \(\displaystyle EC\) szakasz felezi a \(\displaystyle PEQ\) szöget. Továbbá \(\displaystyle QCE\angle=QPE\angle\) és \(\displaystyle ECP\angle=EQP\angle\), mert a \(\displaystyle k\) körben azonos ívekhez tartozó kerületi szögek.

A szögek egyenlősége miatt az \(\displaystyle EPM\) és \(\displaystyle ECQ\) háromszögek hasonlók, így

\(\displaystyle \frac{PM}{PE} = \frac{CQ}{CE} = \frac{CD}{CE} = \frac12. \)

Az \(\displaystyle EMQ\) és \(\displaystyle EPC\) háromszögek is hasonlók, és

\(\displaystyle \frac{QM}{QE} = \frac{CP}{CE} = \frac{CD}{CE} = \frac12. \)

Tehát

\(\displaystyle \frac{PM}{PE} + \frac{QM}{QE} = \frac12 + \frac12 = 1. \)

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	90 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai