A B. 4740. feladat (2015. október)

B. 4740. Nyolc egységkockát úgy ragasztunk össze egy testté, hogy a megfelelő éleik párhuzamosak. Bizonyítsuk be, hogy a kapott test felszíne legalább 24 egység. Ha a kapott test üreges, akkor csak a külső felszín számít.

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A kockák lapjai által (párhuzamosság erejéig) meghatározott síkok legyenek \(\displaystyle S_1,S_2\) és \(\displaystyle S_3\). A testet \(\displaystyle S_1,S_2,S_3\) síkokra vetítve a vetületek területe legyen rendre \(\displaystyle A_1,A_2,A_3\). Elég belátnunk, hogy \(\displaystyle A_1+A_2+A_3\geq 12\). Ez a feladatban szereplőnél erősebb állítás, hiszen nem követeli meg, hogy a kockák össze legyenek ragasztva, akkor is érvényes, ha a kockák nem alkotnak (topológiai értelemben) összefüggő halmazt. Sőt, azt is belátjuk, hogy ez az állítás már 7 kocka esetén is teljesül.

Először egy hasonló síkbeli állítást bizonyítunk. Megmutatjuk, hogyha adott a síkon \(\displaystyle k\) (ahol \(\displaystyle k\) értéke 1, 2 vagy 3) olyan, közös belső pont nélküli egységnégyzet, melyek oldalai párhuzamosak, akkor a négyzetek unióját az oldalegyenesekkel párhuzamos \(\displaystyle e_1\) és \(\displaystyle e_2\) egyenesekre vetítve a vetületek \(\displaystyle l_1\) és \(\displaystyle l_2\) hosszának összege legalább \(\displaystyle c_k\cdot 4k\), ahol \(\displaystyle c_1=\frac{1}{2}, c_2=\frac{3}{8}, c_3=\frac{1}{3}\).

Az állítás \(\displaystyle k=1\)-re triviális, hiszen ekkor \(\displaystyle l_1=l_2=1\). Legyen most \(\displaystyle k=2\). Ha \(\displaystyle l_1\) és \(\displaystyle l_2\) értéke is legalább 2, akkor az állítás teljesül, hiszen \(\displaystyle 2+2\geq 3\). Ha valamelyikük, mondjuk \(\displaystyle l_1\) értéke kisebb 2-nél, akkor a két négyzet \(\displaystyle e_2\)-re vett vetületének nem lehet közös belső pontja (hiszen egyetlen \(\displaystyle e_1\)-gyel párhuzamos egyenes sem tartalmaz mindkét négyzetből belső pontot), így \(\displaystyle l_2\geq 2\). Persze \(\displaystyle 1\leq l_1\) is igaz, ezért az állítás ekkor is teljesül. Végül tegyük fel, hogy \(\displaystyle k=3\). Ha \(\displaystyle l_1\) és \(\displaystyle l_2\) értéke is legalább 2, akkor ismét készen vagyunk: \(\displaystyle 2+2\geq 4\). Tegyük fel tehát, hogy például \(\displaystyle l_1\) értéke 2-nél kisebb. Az előző esethez hasonlóan kapjuk, hogy \(\displaystyle l_2\geq 3\), így \(\displaystyle l_1\geq 1\) miatt \(\displaystyle l_1+l_2\geq 4\).

Térjünk vissza az eredeti feladatra. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle A_1\leq A_2\leq A_3\). Ha \(\displaystyle A_1\geq 4\), akkor az összeg valóban legalább 12. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle A_1<4\). Az \(\displaystyle S_1\)-gyel párhuzamos síkokat hívjuk mostantól vízszintes síkoknak. A testet alkotó kockák vízszintes lapjainak síkjai alulról felfelé haladva legyenek \(\displaystyle H_1,H_2, \dots, H_n\). A test minden vízszintes síkmetszete néhány olyan, közös belső pont nélküli egységnégyzet uniója, melyek oldalai párhuzamosak. Ha valamilyen \(\displaystyle 1\leq i\leq n-1\)-re két olyan vízszintes síkot veszünk, amelyek mindegyike \(\displaystyle H_i\) és \(\displaystyle H_{i+1}\) közé esik, akkor ugyanazt a síkmetszetet kapjuk, legyen ez a síkmetszet \(\displaystyle N_i\). Ha \(\displaystyle N_i\)-t \(\displaystyle k\) négyzet alkotja, akkor legyen \(\displaystyle t_i=4k\), ami a négyzetek kerületének összege. Legyen továbbá \(\displaystyle N_i\)-nek a négyzetek oldalaival párhuzamos egyenesekre vett vetületének összhossza \(\displaystyle s_i\). Végül, legyen \(\displaystyle H_i\) és \(\displaystyle H_{i+1}\) távolsága \(\displaystyle d_i\). Ekkor a test \(\displaystyle S_2\)-re és \(\displaystyle S_3\) vett vetületének összterülete éppen \(\displaystyle S=d_1s_1+d_2s_2+\dots+d_{n-1}s_{n-1}\), továbbá a kockák \(\displaystyle S_2\)-vel és \(\displaystyle S_3\)-mal párhuzamos lapjainak összterülete \(\displaystyle T=d_1t_1+d_2t_2+\dots+d_{n-1}t_{n-1}\), aminek értéke másrészről \(\displaystyle T=4\cdot 7=28\).

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle 3\leq A_1<4\). Ekkor a vízszintes síkmetszeteket legfeljebb 3 négyzet alkotja, így a síkban belátott állításunk szerint minden \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle s_i\geq t_i/3\), és ezért \(\displaystyle S\geq T/3=28/3\), azaz \(\displaystyle A_1+A_2+A_3\geq 3+28/3>12\).

Legyen most \(\displaystyle 2\leq A_2<3\). Ekkor a vízszintes síkmetszeteket legfeljebb 2 négyzet alkotja, és így már \(\displaystyle s_i\geq \frac{3}{8}t_i\) is teljesül minden \(\displaystyle i\)-re. Így \(\displaystyle A_1+A_2+A_3\geq 2+\frac{3}{8}\cdot 28>12\).

Végül, ha \(\displaystyle 1\leq A_1<2\), akkor minden vízszintes síkmetszetet egyetlen kisnégyzet alkot, és így \(\displaystyle s_i=t_i/2\) és \(\displaystyle S=T/2=14\). Azaz \(\displaystyle A_1+A_2+A_3\geq 1+14>12\). Több eset nincsen, hiszen nyilván \(\displaystyle A_1\geq 1\).

Ezzel az állítást bizonyítottuk.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Gáspár Attila, Juhász 326 Dániel, Kerekes Anna.
5 pontot kapott:	Simon Dániel Gábor.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai