 |
A B. 4769. feladat (2016. február) |
B. 4769. Melyek azok a háromszögek, melyek oldalainak harmadolópontjai egy körre illeszkednek?
Szoldatics József (Budapest) javaslata nyomán
(3 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) koncentrikus körök, középpontjuk \(\displaystyle O\), sugaraik rendre \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle r\), ahol \(\displaystyle R>r\) és \(\displaystyle r\geq \frac R3\).
Legyen \(\displaystyle AB\) a \(\displaystyle k_1\) kör olyan húrja, melyet a \(\displaystyle k_2\)-vel vett metszéspontjai harmadolnak.
A metszéspontok legyenek \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\), a húr felezőpontja \(\displaystyle F\), és \(\displaystyle OF=m\). Legyen \(\displaystyle CF=x\), ekkor \(\displaystyle AC=CD=2x\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle AFO\) és \(\displaystyle CFO\) derékszögű háromszögekre:
\(\displaystyle 9x^2+m^2=R^2,\)
\(\displaystyle x^2+m^2=r^2.\)
A felső egyenletből kivonva az alsót:
\(\displaystyle 8x^2=R^2-r^2\), amiből \(\displaystyle x=\sqrt{\frac{R^2-r^2}{8}}\), vagyis \(\displaystyle AB=6x=3\sqrt{\frac{R^2-r^2}{2}}\).
Tehát adott \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle r\) esetén, ha \(\displaystyle r\geq\frac R3\), a forgásszimmetriától eltekintve egy ilyen \(\displaystyle AB\) húr van.
Ha egy háromszög oldalainak harmadolópontjai egy \(\displaystyle k_2\) körre esnek, akkor ez a kör koncentrikus a háromszög köré írt \(\displaystyle k_1\) körrel, hiszen a háromszög oldalfelező merőlegesei a \(\displaystyle k_2\) körbe eső húrok felezőmerőlegesei is egyben, így ugyanazt a középpontot határozzák meg. Az adott két körhöz viszont csak egy olyan \(\displaystyle h=3\sqrt{\frac{R^2-r^2}{2}}\) hosszúságú húr van, amit a \(\displaystyle k_2\) kör harmadol, így az ilyen háromszögek csak egyenlő oldalúak lehetnek.
Statisztika:
136 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 119 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai