A B. 4771. feladat (2016. február)

B. 4771. Egy százszemélyes repülőgépen száz ember utazik úgy, hogy mindenkinek van előre kiosztott helye. Az első utas ezzel nem törődve véletlenszerűen leül a száz közül egy helyre. Ezután minden utas a saját helyére próbál leülni, vagy ha az foglalt, véletlenszerűen választ egy másikat. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a századik utas a helyére ül, ha egyszerre csak egy ember foglal helyet?

Javasolta: Nagy Nándor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először belátjuk, hogy az utolsó utas vagy a saját, vagy az első utas helyére fog leülni. Az ettől különböző helyek mindegyikére leül ugyanis az az utas, akinek oda szól a jegye, vagy valaki más korábban. Vagyis az utolsóként megmaradó hely vagy az első, vagy a századik utasé. A két lehetőség valószínűsége egyforma, hiszen az első utas választását nem befolyásolta, melyik helyre szól a jegye, és később a másodiktól a kilencvenkilencedik utasig egyikük választása sem alakult volna másképpen, ha az első és az utolsó utas valódi helye épp fordítva lett volna. Képzelhetjük ugyanis úgy, hogy előre tudjuk, az utasok milyen sorrendben próbálnak leülni, és azt is tudjuk, az első utas melyik helyet választja, továbbá az első és az utolsó utas kivételével mindenkinél ott van a helyjegye is, azonban a fennmaradó két jegyet csak a leülés után adjuk oda az első és az utolsó utasnak véletlenszerűen, a leülési folyamatot úgysem befolyásolja, végül melyiküké melyik lesz. Tehát a két eset valószínűsége egyforma, és mivel pontosan az egyikük következik be, ezért \(\displaystyle 1/2\) annak a valószínűsége, hogy az utolsó utas a helyére ül le.

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	65 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai