A B. 4776. feladat (2016. február)

B. 4776. Legyen \(\displaystyle \mathcal{O}\) egy szabályos oktaéder. Hány olyan egyenes van, melyek körüli legfeljebb \(\displaystyle 180^{\circ }\)-os forgatással \(\displaystyle \mathcal{O}\) önmagába vihető?

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az oktaéder önmagába megy át

(1) bármelyik két szemközti csúcsot összekötő egyenes körüli 90 vagy 180 fokos forgatással;

(2) bármelyik két szemközti él felezőpontjait összekötő egyenes körüli 180 fokos forgatással;

(3) bármelyik két szemközti lap középpontjait összekötő egyenes körüli 120 fokos forgatással.

Az, hogy ezek a forgatások tényleg önmagába viszik az oktaédert, következik abból, hogy az oktaédert egyértelműen meghatározza a középpontja és két csúcsának a helye.

A csúcsok, élek, lapok száma 6, 12, illetve 8; ez összesen \(\displaystyle 3+6+4=13\) lehetséges tengelyt jelent. Megmutatjuk, hogy csak ezek a tengelyek léteznek.

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle t\) olyan egyenes, ami körül valamilyen \(\displaystyle \varphi\) forgatással \(\displaystyle \mathcal{O}\) önmagába vihető. A forgatás során az oktaéder középpontja nem változik, ezért \(\displaystyle t\) biztosan átmegy a középponton.

Legyen \(\displaystyle P\) az egyik olyan pont, ahol \(\displaystyle t\) döfi az oktaéder felszínét. Mivel \(\displaystyle P\) rajta van a \(\displaystyle t\) tengelyen, \(\displaystyle P\) a forgatásnak fixpontja, \(\displaystyle \varphi(P)=P\).

Ha \(\displaystyle P\) csúcs, akkor \(\displaystyle t\) átmegy a \(\displaystyle P\)-vel átellenes csúcson is, a \(\displaystyle \varphi\) az (1) esethez tartozik, készen vagyunk.

Ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle \mathcal{O}\) valamelyik \(\displaystyle AB\) élének belső pontja, akkor \(\displaystyle \varphi(AB)\) képe szintén egy él, aminek \(\displaystyle \varphi(P)=P\) továbbra is pontja. Ez csak úgy lehet, ha az \(\displaystyle AB\) él önmagába megy át. Viszont az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont nincs rajta \(\displaystyle t\)-n, ezért egyik sem lehet önmaga képe, tehát \(\displaystyle \varphi(A)=B\) és \(\displaystyle \varphi(B)=A\). Az \(\displaystyle AP\) szakasz a \(\displaystyle BP\) szakaszba megy át, így \(\displaystyle P\) csak az \(\displaystyle AB\) él felezőpontja lehet, a forgatás a (2) kategóriába tartozik.

Hasonlóan, ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle \mathcal{O}\) valamelyik \(\displaystyle ABC\) lapjának belső pontja, akkor az \(\displaystyle ABC\) lap képe a \(\displaystyle P\) fixpont miatt csak önmaga lehet. Az \(\displaystyle \varphi(A),\varphi(B),\varphi(C)\) pontok tehát az \(\displaystyle A,B,C\) pontok egy permutációját adják. De az \(\displaystyle A,B,C\) csúcsok egyike sem esik a \(\displaystyle t\) tengelyre, \(\displaystyle \varphi(A)\ne A\), \(\displaystyle \varphi(B)\ne B\), \(\displaystyle \varphi(C)\ne C\). Könnyen ellenőrizhető, hogy csak két ilyen permutáció létezik, és ezek az \(\displaystyle ABC\) lap elforgatásai. A forgatás egyetlen fixpontja a lap középpontja, ezért \(\displaystyle P\) csak az \(\displaystyle ABC\) lap középpontja lehet, a (3)-ban felsorolt forgatások egyikéről van szó.

Tehát 13 olyan egyenes van, melyek körüli alkalmas forgatással \(\displaystyle \mathcal{O}\) önmagába vihető.

Statisztika:

77 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Bukva Balázs, Busa 423 Máté, Czirkos Angéla, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Hansel Soma, Imolay András, Kiss Gergely, Klász Viktória, Kondákor Márk, Kovács 246 Benedek, Kőrösi Ákos, Lajkó Kálmán, Lakatos Ádám, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Kartal, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szakály Marcell, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Vári-Kakas Andor.
5 pontot kapott:	Borbényi Márton, Cseh Kristóf, Gál Hanna, Harsányi Benedek, Kerekes Anna, Kosztolányi Kata, Kovács 162 Viktória, Németh 123 Balázs, Nguyen Viet Hung, Radnai Bálint, Sal Kristóf, Souly Alexandra, Tiszay Ádám, Umann Péter Andor, Vágó Ákos, Váli Benedek.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai