 |
A B. 4782. feladat (2016. március) |
B. 4782. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
\(\displaystyle 8^x+27^x+2\cdot30^x+54^x+60^x= 12^x+18^x+20^x+24^x+45^x+90^x. \)
Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Vezessük be az \(\displaystyle a=2^x,b=3^x,c=5^x\) jelöléseket. Az egyenlet
\(\displaystyle a^3+b^3+2abc+ab^3+a^2bc-a^2b-ab^2-a^2c-a^3b-b^2c-ab^2c=0\)
alakban írható fel. Az egyenlet bal oldalát szorzattá alakítva:
\(\displaystyle (a-b)(a+b-c)(a-b-ab)=0.\)
Vagyis az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha a három tényező közül valamelyik értéke 0. Az első tényező pontosan akkor 0, ha \(\displaystyle 2^x=3^x\), vagyis \(\displaystyle x=0\). A második tényező pontosan akkor 0, ha \(\displaystyle 2^x+3^x=5^x\), vagyis, ha \(\displaystyle (2/5)^x+(3/5)^x=1\). Mivel a \(\displaystyle (2/5)^x+(3/5)^x\) függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért legfeljebb egy ilyen \(\displaystyle x\) van, és könnyű észrevenni, hogy \(\displaystyle x=1\)-re teljesül az egyenlet. Végül, a harmadik tényező pontosan akkor 0, ha \(\displaystyle 2^x=3^x+6^x\), azaz, ha \(\displaystyle 1=(3/2)^x+3^x\). Mivel a \(\displaystyle (3/2)^x+3^x\) függvény szigorúan monoton növekedő, ezért legfeljebb egy ilyen \(\displaystyle x\) van, és könnyen ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle x=-1\) megoldás.
Azt kaptuk tehát, hogy az egyenletnek három megoldása van: \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\).
Statisztika:
95 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bindics Boldizsár, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Bukva Balázs, Csahók Tímea, Csorba Benjámin, Csuha Boglárka, Demeter Gergő, Döbröntei Dávid Bence, Eper Miklós, Gál Hanna, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Horváth András János, Kerekes Anna, Keresztes László, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Kosztolányi Kata, Kovács 162 Viktória, Kovács 246 Benedek, Lajkó Kálmán, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Németh 417 Tamás, Noszály Áron, Páli Petra, Pap Tibor, Polgár Márton, Radnai Bálint, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Somogyi Pál, Szajbély Zsigmond, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Varga-Umbrich Eszter, Zsigri Bálint. 3 pontot kapott: 38 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző.
A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai