A B. 4785. feladat (2016. március)

B. 4785. Adott a térben a \(\displaystyle \mathcal{G}\) gömb. A \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t elkerülő tetszőleges \(\displaystyle e\) egyenes esetén nevezzük az \(\displaystyle e\) egyenes \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatkozó párjának azt az \(\displaystyle f\) egyenest, mely \(\displaystyle \mathcal{G}\)-nek az \(\displaystyle e\)-re illeszkedő két érintősíkján lévő érintési pontokat köti össze. Mutassuk meg, hogy a tér bármely két \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t elkerülő egyenese pontosan akkor kitérő, ha \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatkozó párjaik kitérő egyenesek.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle \mathcal{G}\) középpontja \(\displaystyle O\), és válasszuk egységnek \(\displaystyle \mathcal{G}\) sugarát.

A tér bármely két egyenese vagy egy síkban van (egybeesnek, párhuzamosak vagy metszik egymást), vagy pedig kitérő helyzetű. Ezért a feladat állítása ekvivalens a következővel: A tér bármely két, \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t elkerülő egyenese pontosan akkor van egy síkban, ha \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatkozó párjaik egy síkban vannak.

Lemma. Legyen \(\displaystyle e\) tetszőleges, \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t elkerülő egyenes, az \(\displaystyle e\) párja \(\displaystyle e'\). Jelölje \(\displaystyle O\) merőleges vetületét az \(\displaystyle e\) és az \(\displaystyle e'\) egyeneseken \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle E'\). Ekkor

(1) Az \(\displaystyle E\) és az \(\displaystyle E'\) pont egymás inverze a \(\displaystyle \mathcal{G}\) gömbre, vagyis \(\displaystyle E'\) az \(\displaystyle OE\) félegyenesre esik, és \(\displaystyle OE\cdot OE' = 1\);

(2) Az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle OE'E\) egyenesek páronként merőlegesek egymásra.

Bizonyítás. Legyen \(\displaystyle \mathcal{U}\) és \(\displaystyle \mathcal{V}\) a két, \(\displaystyle e\)-re illeszkedő, \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t érintő sík, amelyek az \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) pontokban érintik \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t. Legyen \(\displaystyle e\) és az \(\displaystyle OUV\) sík döféspontja \(\displaystyle E_0\).

A gömb \(\displaystyle OU\) sugara merőleges az \(\displaystyle \mathcal{U}\) érintő síkra, így az \(\displaystyle \mathcal{U}\) síkban fekvő \(\displaystyle e\) egyenesre is. Hasonlóan, az \(\displaystyle OV\) sugár is merőleges \(\displaystyle e\)-re. Az \(\displaystyle e\) egyenes merőleges \(\displaystyle OU\)-re és \(\displaystyle OV\)-ra is, ezért \(\displaystyle e\) merőleges az \(\displaystyle OUV\) síkra, és minden abban fekvő egyenesre, például \(\displaystyle UV=e'\)-re és \(\displaystyle OE_0\)-re is. Az \(\displaystyle OE\) és az \(\displaystyle OE_0\) is merőleges \(\displaystyle e\)-re; ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle E_0=E\); az \(\displaystyle O,U,E,V\) pontok egy síkban vannak.

Az \(\displaystyle OUEV\) négyszögben \(\displaystyle OU=OV=1\) a gömb sugarai, \(\displaystyle EU=EV\) a gömbhöz húzott érintő szakaszok, továbbá \(\displaystyle OUE\sphericalangle = UVE\sphericalangle=90^\circ\). A négyszög tehát egy derékszögű deltoid, átlóinak metszéspontja az \(\displaystyle E'\) pont. Az \(\displaystyle OEU\) derékszögű háromszög \(\displaystyle UO\) oldalára felírva a befogótételt, \(\displaystyle OE\cdot OE' = OU^2 = 1\). Az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle E'\) tehát egymás \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatozó inverze.

Mint láttuk, \(\displaystyle UV=e'\) merőleges \(\displaystyle e\)-re és \(\displaystyle OE'\)-re is; ezzel a Lemma bizonyítását befejeztük.

A Lemma a "pár" relációját kiterjeszti tetszőleges, az \(\displaystyle O\) pontra nem illeszkedő \(\displaystyle e\) egyenesre is: az \(\displaystyle e\)-nek az \(\displaystyle O\)-hoz legközelebbi \(\displaystyle E\) pontját invertáljuk a \(\displaystyle \mathcal{G}\) gömbre, majd az így kapott \(\displaystyle E'\) ponton át felvesszük azt az \(\displaystyle e'\) egyenest, amely merőleges az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle O\) által meghatározott síkra. Ez a módosított definíció szimmetrikus: az \(\displaystyle e'\) párja ismét \(\displaystyle e\). Emiatt elég azt igazolunk, hogy ha két egyenes egy síkban van, akkor a párjaik is egy síkban vannak.

Legyen tehát \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) két, egy \(\displaystyle \mathcal{P}\) síkba eső egyenes, amelyek nem mennek át az \(\displaystyle O\) ponton; az \(\displaystyle e\) párja legyen \(\displaystyle e'\), az \(\displaystyle f\) párja pedig \(\displaystyle f'\). Azt akarjuk megmutatni, hogy \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle f'\) egy síkban van.

Két esetet fognk megkülönböztetni aszerint, hogy a \(\displaystyle \mathcal{P}\) sík illeszkedik-e az \(\displaystyle O\) pontra.

1. eset: Az \(\displaystyle O\) nem illeszkedik a \(\displaystyle \mathcal{P}\) síkra.

Legyen \(\displaystyle O\) merőleges vetülete az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyeneseken, valamint a \(\displaystyle \mathcal{P}\) síkon \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), illetve \(\displaystyle T\); a \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatkozó inverzük legyen \(\displaystyle E'\), \(\displaystyle F'\), illetve \(\displaystyle T'\).

Azt fogjuk megmutatni, hogy az \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle f'\) egyenesek átmennek a \(\displaystyle T'\) ponton.

A Lemma miatt az \(\displaystyle e'\) egyenes átmegy az \(\displaystyle E'\) ponton. Ha \(\displaystyle E'\) egybeesik \(\displaystyle T'\)-vel, akkor az állításunk triviális; a továbbiakban feltételezzük, hogy \(\displaystyle E'\) és \(\displaystyle T'\) különbőző pontok. Mivel \(\displaystyle OET\sphericalangle=90^\circ\), az \(\displaystyle OEE'\) és \(\displaystyle OTT'\) egyenesek különbözők.

A Lemma szerint az \(\displaystyle e'\) egyenes átmegy az \(\displaystyle E'\) ponton, továbbá merőleges \(\displaystyle OE'\)-re és \(\displaystyle e\)-re is. Ez a három tulajdonság egyértelműen meghatározza az \(\displaystyle e'\) egyenest, ezért \(\displaystyle E'T'=e'\) bizonyításához elég megmutatni, hogy a három tulajdonság igaz az \(\displaystyle E'T'\) egyenesre is.

Az \(\displaystyle E'T'\) egyenes nyilván átmegy \(\displaystyle E'\)-en.

Az \(\displaystyle OT\) egyenes merőleges a \(\displaystyle \mathcal{P}\) síkra, tehát annak minden egyenesére, speciálisan az \(\displaystyle e\)-re is. Továbbá, az \(\displaystyle e\) egyenes merőleges az \(\displaystyle OE\) egyenesre. Az \(\displaystyle e\) tehát merőleges az \(\displaystyle OET\) sík két, egymást metsző egyenesére, \(\displaystyle OE\)-re és \(\displaystyle OT\)-re; ebből következik, hogy \(\displaystyle e\) merőleges az \(\displaystyle OET\) síkra, és az abban fekvő \(\displaystyle E'T'\) egyenesre is. Tehát, \(\displaystyle E'T'\) merőleges \(\displaystyle e\)-re.

Mivel \(\displaystyle OE\cdot OE'= OT\cdot OT'=1\), átrendezve \(\displaystyle \frac{OE}{OT}=\frac{OT'}{OE'}\), az \(\displaystyle OET\) és \(\displaystyle OT'E'\) háromszögek hasonlók, és emiatt \(\displaystyle OE'T'\sphericalangle=OTE\sphericalangle=90^\circ\). Az \(\displaystyle E'T'\) egyenes tehát merőleges \(\displaystyle OE'\)-re. Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle e'=E'T'\).

Hasonlóan láthatjuk, hogy \(\displaystyle f\) átmegy a \(\displaystyle T'\) ponton. Az \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle f'\) egyeneseknek \(\displaystyle T'\) közös pontja, így a két egyenes egy síkban van.

2. eset: Az \(\displaystyle O\) pont a \(\displaystyle \mathcal{P}\) síkon van.

Azt fogjuk megmutatni, hogy \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle f'\) párhuzamos vagy egybeesik.

Legyen \(\displaystyle O\) merőleges vetülete az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyeneseken \(\displaystyle E\), iletve \(\displaystyle F\); a \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatkozó inverzeik legyenek \(\displaystyle E'\), illetve \(\displaystyle F'\). A Lemma szerint az \(\displaystyle e'\) egyenes merőleges az \(\displaystyle OE\) és az \(\displaystyle e\) egyenesre is. Az \(\displaystyle e'\) tehát merőleges a \(\displaystyle \mathcal{P}\) sík két különböző irányú (sőt, egymásra merőleges) egyenesére, \(\displaystyle e\)-re és \(\displaystyle OE\)-re is, ezért \(\displaystyle e'\) merőleges a \(\displaystyle \mathcal{P}\) síkra. Hasonlóan láthatjuk, hogy az \(\displaystyle f'\) egyenes is merőleges \(\displaystyle \mathcal{P}\)-re. Az \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle f'\) is merőleges \(\displaystyle \mathcal{P}\)-re, így vagy párhuzamosak, vagy egybeesnek, ezért egy síkban vannak.

Megjegyzések. 1. A feladat állítása jól ismert a projektív geometriából. A gömbre vonatkozó polaritás esetében így szerkeszthetjük meg egy egyenes párját vagy duálisát. A feladat állítása következik a polaritás illeszkedéstartásából.

2. A megoldás kényelmesen elmondható a 3-dimenziós valós projektív tér egyeneseinek úgynevezett Plücker-koordinátái segítségével is.

A pontokat az origóból indított helyvektoraikkal azonosítjuk. Legyen az \(\displaystyle e\) --- egyelőre nem ideális --- egyenes egy irányvektora \(\displaystyle \mathbf{d}\). Könnyen ellenőrizhető, hogy az egyenes tetszőleges \(\displaystyle \mathbf{x}\) pontjára az \(\displaystyle \mathbf{m}=\mathbf{x}\times\mathbf{d}\), úgynevezett momentumvektor (lásd pl. a forgatónyomaték definícióját) mindig ugyanaz; megfordítva, az irány- és momentumvektor együtt egyértelműen meghatározza az egyenest. Az egyenes egyenletét tehát a következő alakban is írhatjuk:

Megjegyezzük, hogy az irány- és a momentumvektor mindig merőleges egymásra. A (*) egyenlet természetesen nem egyértelmű: nemnulla konstanssal szorozva ekvivalens egyenletet kapunk. Az \(\displaystyle \mathbf{x}\times\mathbf{d}=\mathbf{m}\) egyenletű egyenest röviden \(\displaystyle (\mathbf{d}:\mathbf{m})\)-mel is szokás jelölni. A definíció kiterjeszthető a projektív tér ideális egyeneseire is; a \(\displaystyle \mathbf{d}=\mathbf{0}\) esetben (*) az \(\displaystyle \mathbf{m}\ne\mathbf{0}\) vektorra merőleges ideális egyenes egyenlete.

A feladat állítása következik a következő tényekből:

(a) Az \(\displaystyle (\mathbf{a}:\mathbf{b})\) egyenes párja (duálisa) a \(\displaystyle (\mathbf{b}:\mathbf{a})\) egyenes. (Ez megfelel a megoldásbeli Lemmának.)

(b) Az \(\displaystyle (\mathbf{a}:\mathbf{b})\) és \(\displaystyle (\mathbf{c}:\mathbf{d})\) egyenesek akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha \(\displaystyle \mathbf{a}\cdot\mathbf{d}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0\). (Kicsit általánosabban: ha a két egyenes \(\displaystyle \varphi\) szöget zár be, a távolságuk pedig \(\displaystyle d\), akkor \(\displaystyle |\mathbf{a}\cdot\mathbf{d}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}| = |a| \cdot |b| \cdot d \cdot \sin\varphi\).

Ezeknek ellenőrzését az Olvasóra hagyjuk.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Kerekes Anna, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Polgár Márton, Sudár Ákos, Tiszay Ádám, Zólomy Kristóf.
4 pontot kapott:	Bukva Balázs, Csahók Tímea, Cseh Kristóf, Hansel Soma, Tóth Viktor.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai