 |
A B. 4787. feladat (2016. április) |
B. 4787. Egy derékszögű trapéz területe egyenlő a szárak szorzatának felével. A merőleges szár melyik pontjából látszik a másik szár a legnagyobb szög alatt?
Javasolta: Olosz Ferenc (Szatmárnémeti)
(3 pont)
A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) derékszögű trapézban legyen \(\displaystyle AB=a\), \(\displaystyle CD=b\) és \(\displaystyle AD=h\). Legyen az \(\displaystyle E\) pont a merőleges szár felezőpontja, \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle C\) pontnak az \(\displaystyle AB\) egyenesre eső merőleges vetülete, \(\displaystyle O\) pedig a \(\displaystyle BC\) szár felezőpontja.
Ekkor \(\displaystyle T_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{AD\cdot BC}{2}\), amiből \(\displaystyle BC=AB+CD=a+b\).
Az \(\displaystyle AFCD\) négyszög téglalap, így \(\displaystyle FC=AD=h\) és \(\displaystyle AF=CD=b\), ezért \(\displaystyle FB=AB-AF=a-b\).
Az \(\displaystyle FBC\) derékszögű háromszögben írjuk fel a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle FC=\sqrt{BC^2-FB^2}\), vagyis \(\displaystyle h=\sqrt{(a+b)^2-(a-b)^2}=2\sqrt{ab}\), tehát \(\displaystyle AE=ED=\sqrt{ab}\).
Belátjuk, hogy \(\displaystyle BEC\angle=\alpha=90^{\circ}\). Az \(\displaystyle ABE\) derékszögű háromszögben felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle BE^2=AB^2+AE^2=a^2+ab\). Hasonlóan, a \(\displaystyle CDE\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle CE^2=CD^2+DE^2=b^2+ab\). Így a \(\displaystyle BEC\) háromszögben teljesül, hogy \(\displaystyle BC^2=BE^2+EC^2\), hiszen \(\displaystyle (a+b)^2=(a^2+ab)+(b^2+ab)=a^2+2ab+b^2\). Tehát a \(\displaystyle BEC\) háromszög derékszögű.
A \(\displaystyle BC\) fölé emelt Thalész-kör az \(\displaystyle AD\) oldalt érinti az \(\displaystyle E\) pontban, mert \(\displaystyle EO\) a kör sugara, és egyben a trapéz középvonala, ami merőleges az \(\displaystyle AD\) szárra. Azok a pontok, melyekből a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle 90^{\circ}\)-nál nagyobb szög alatt látszik, mind a Thalész-kör belsejében vannak, így az \(\displaystyle E\) pontból, az \(\displaystyle AD\) szakasz felezőpontjából látszik a \(\displaystyle BC\) szár a legnagyobb szög alatt, és ez derékszög.
Statisztika:
95 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 89 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai