A B. 4796. feladat (2016. május)

B. 4796. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

\(\displaystyle x^2-6\{x\}+1=0 \)

egyenletet, ahol \(\displaystyle \{x\}\) az \(\displaystyle x\) szám törtrészét jelenti.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenletet átrendezve \(\displaystyle x^2=6\{x\}-1<6-1=5\) adódik, így \(\displaystyle [x]\) értéke csak \(\displaystyle -3,-2,-1,0,1\) vagy \(\displaystyle 2\) lehet. Ha \(\displaystyle [x]=k\), akkor \(\displaystyle x^2-6(x-k)+1=0\), vagyis az \(\displaystyle x^2-6x+6k+1=0\) másodfokú egyenletet kapjuk. Az egyenlet diszkriminánsa \(\displaystyle 36-4(6k+1)=32-24k\), így a szóba jövő \(\displaystyle k\) értékek közül \(\displaystyle k=2\)-re nincs megoldása a kapott másodfokú egyenletnek, a másik öt esetben van. Ekkor a gyökei \(\displaystyle =\frac{6\pm\sqrt{32-24k}}{2}=3\pm\sqrt{8-6k}\). Mivel a \(\displaystyle 3+\sqrt{8-6k}\) szám egész része nyilván legalább 3, ezért \(\displaystyle x\) értéke \(\displaystyle 3+\sqrt{8-6k}\) egyik esetben sem lehet. Vizsgáljuk meg, hogy a kisebbik gyök, \(\displaystyle 3-\sqrt{8-6k}\) milyen \(\displaystyle k\) értékekre esik a \(\displaystyle [k,k+1)\) intervallumba. Pontosan akkor teljesül \(\displaystyle 3-\sqrt{8-6k}\in [k,k+1)\), ha \(\displaystyle \sqrt{8-6k}\in (2-k,3-k]\). Mivel \(\displaystyle \sqrt{26}\in (5,6], \sqrt{20}\in (4,5], \sqrt{14}\in (3,4], \sqrt{8}\in (2,3],\sqrt{2}\in (1,2]\) teljesülnek, ezért mind az öt esetben megoldást kapunk.

Az egyenlet megoldásai tehát: \(\displaystyle 3-\sqrt{26},3-\sqrt{20},3-\sqrt{14},3-\sqrt{8},3-\sqrt{2}\).

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	79 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai