 |
A B. 4797. feladat (2016. május) |
B. 4797. A \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok rendre az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB, BC\) és \(\displaystyle CA\) oldalainak tetszőleges belső pontjai. Legyenek az \(\displaystyle ADF, BED\) és \(\displaystyle CFE\) háromszögek súlypontjai rendre a \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle I\) pontok. Továbbá legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja \(\displaystyle S\), a \(\displaystyle DEF\) háromszög súlypontja \(\displaystyle K\), a \(\displaystyle GHI\) háromszög súlypontja pedig \(\displaystyle L\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\) és \(\displaystyle S\) pontok egy egyenesre illeszkednek.
Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)
(3 pont)
A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladatban szereplő állítás tetszőleges helyzetű pontokra igaz. Legyen ugyanis \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle DEF\) két tetszőleges (akár elfajuló) háromszög a térben. Irányítsunk az egyes pontokba helyvektorokat. A vektorok betűjele feleljen meg a csúcsok betűzésének. A háromszög súlypontjába mutató helyvektor a csúcsokba mutató helyvektorok átlaga. Ezt felhasználva az egyes súlypontok helyvektorai:
\(\displaystyle \underline{s}=\frac{\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}}{3}, \text{ } \underline{g}=\frac{\underline{a}+\underline{d}+\underline{f}}{3}, \text{ } \underline{h}=\frac{\underline{b}+\underline{e}+\underline{d}}{3},\text{ } \underline{i}=\frac{\underline{c}+\underline{f}+\underline{e}}{3},\)
\(\displaystyle \underline{k}=\frac{\underline{d}+\underline{e}+\underline{f}}{3}, \text{ } \underline{l}=\frac{\underline{g}+\underline{h}+\underline{i}}{3}.\)
Most fejezzük ki az \(\displaystyle \underline{l}\) vektort az \(\displaystyle \underline{s}\) és \(\displaystyle \underline{k}\) vektorok segítségével:
\(\displaystyle \underline{l}=\frac{\underline{g}+\underline{h}+\underline{i}}{3}=\frac{\frac{\underline{a}+\underline{d}+\underline{f}}{3}+\frac{\underline{b}+\underline{e}+\underline{d}}{3}+\frac{\underline{c}+\underline{f}+\underline{e}}{3}}{3}= \frac{\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}}{9}+2\cdot\frac{\underline{d}+\underline{e}+\underline{f}}{9}=\frac{\underline{s}+2\underline{k}}{3}.\)
Azt kaptuk tehát, hogy az \(\displaystyle L\) pont az \(\displaystyle SK\) szakasz \(\displaystyle K\)-hoz közelebbi harmadolópontja. Ez az eredmény láthatóan nem függ a pontok elhelyezkedésétől, bármely hat térbeli \(\displaystyle A, B, C, D, E, F\) pontra teljesül.
Statisztika:
71 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 62 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai