 |
A B. 4799. feladat (2016. május) |
B. 4799. Mely négyzetszámok állnak elő egy 3-, és egy 5-hatvány összegeként, ahol a hatványok kitevői nemnegatív egész számok?
Káspári Tamás (Paks) javaslata alapján
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) olyan nemnegatív egész számok, melyekre \(\displaystyle 5^a+3^b=k^2\) valamely \(\displaystyle k\geq 2\) egész számra (\(\displaystyle k\ne 1\), hiszen a bal oldal értéke legalább 2). Vizsgáljuk meg először az \(\displaystyle a=0\) esetet: \(\displaystyle 3^b+1=k^2\). Az egyenletet átrendezve és szorzattá alakítva: \(\displaystyle 3^b=k^2-1=(k+1)(k-1)\). Vagyis a \(\displaystyle k+1\) és \(\displaystyle k-1\) számok olyan 3-hatványok, amelyek különbsége 2. Ez csak az 1-re és a 3-ra teljesül, azaz \(\displaystyle k=2\), amiből \(\displaystyle b=1\). Vagyis ebben az esetben az \(\displaystyle (a,b)=(0,1)\) számpárt kapjuk, \(\displaystyle 5^0+3^1=2^2\).
Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle b=0\). Az előző esethez hasonlóan átrendezés és szorzattá alakítás után: \(\displaystyle 5^a=(k+1)(k-1)\). Azonban bármely két 5-hatvány között legalább 4 a különbség, így ebben az esetben nem kapunk megoldást.
Végül tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok. Mivel egy négyzetszám 3-as maradéka nem lehet 2, ezért \(\displaystyle a\) páros, hiszen az 5-hatványok 3-as maradéka felváltva 1 és 2. Azaz \(\displaystyle a=2A\) valamely \(\displaystyle A\) pozitív egész számra. Egy négyzetszám 5-ös maradéka nem lehet 2 vagy 3, ezért \(\displaystyle b\)-nek is párosnak kell lennie, hiszen a 3-hatványok 5-ös maradéka rendre (\(\displaystyle 3^0=1\)-gyel kezdődően): 1, 3, 4, 2, és innen ciklikusan ismétlődik. Vagyis \(\displaystyle b=2B\) valamely \(\displaystyle B\) pozitív egész számra. A kapott \(\displaystyle 5^{2A}+3^{2B}=k^2\) egyenletet átrendezve és szorzattá alakítva:
\(\displaystyle 5^{2A}=k^2-3^{2B}=(k+3^B)(k-3^B).\)
A jobb oldalon szereplő tényezők különbsége \(\displaystyle 2\cdot 3^B\), így nem lehetnek mindketten 5-tel oszthatók. Mindkettőnek 5-hatványnak kell lennie, így ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle k-3^B=1\). Ugyanakkor a
\(\displaystyle 3^{2B}=(k+5^A)(k-5^A)\)
átrendezésből ehhez hasonlóan azt kapjuk, hogy \(\displaystyle k-5^A=1\). Tehát csak akkor kaphatunk megoldást, ha \(\displaystyle k-1\) egyszerre 3-hatvány és 5-hatvány is, ami csak \(\displaystyle k-1=1\) esetén teljesül. Azonban ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, akkor \(\displaystyle 5^a+3^b>4\), így ez nem teljesülhet.
Tehát a négyzetszámok közül egyedül a 4 áll elő egy 3-hatvány és egy 5-hatvány összegeként.
Statisztika:
91 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 64 versenyző. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai