 |
A B. 4810. feladat (2016. szeptember) |
B. 4810. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög két szöge \(\displaystyle BAC\sphericalangle=15^{\circ}\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=30^{\circ}\). A \(\displaystyle C\) pontban az \(\displaystyle AC\) oldalra bocsátott merőleges az \(\displaystyle AB\) szakaszt a \(\displaystyle D\) pontban, az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőmerőlegese a \(\displaystyle CD\) egyenest az \(\displaystyle E\) pontban metszi. Hosszabbítsuk meg az \(\displaystyle AB\) szakaszt a \(\displaystyle B\) ponton túl a \(\displaystyle BC\) szakasz hosszával, az így kapott pont legyen \(\displaystyle G\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle C\) pontok egy \(\displaystyle \sqrt{2} \cdot AB\) átmérőjű körön vannak.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Forgassuk el az \(\displaystyle ABC\) háromszöget a \(\displaystyle B\) pont körül negatív irányban \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal. A csúcsok képei rendre \(\displaystyle A_{1}, B, C_{1}\).
Az \(\displaystyle A_{1}C_{1}B\angle\) mellékszöge \(\displaystyle 45^{\circ}\). Az \(\displaystyle ABC\angle=30^{\circ}\) és a forgatás szöge alapján a \(\displaystyle C_{1}B\) szakasz merőleges az \(\displaystyle AB\) egyenesére. Az \(\displaystyle A_1C_1\) egyenes által levágott derékszögű háromszög egyenlő szárú, vagyis az \(\displaystyle A_{1}C_{1}\) egyenes az \(\displaystyle AB\) egyenest a \(\displaystyle G\) pontban metszi. A \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os forgatás és \(\displaystyle ABC\angle=30^{\circ}\) miatt \(\displaystyle CBA_{1}\angle\) szintén \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os. Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle A_{1}CB\) háromszögek egybevágók, mert két-két oldaluk hossza és a közbezárt szög nagysága megegyezik. A \(\displaystyle BCA_1\angle\) mellékszöge \(\displaystyle 45^{\circ}\), amelyet levonva a \(\displaystyle BCA\angle =135^{\circ}\)-ból látható, hogy az \(\displaystyle A_{1}C\) egyenes merőleges az \(\displaystyle AC\)-re. A forgatás alapján azt is tudjuk, hogy az \(\displaystyle ABA_{1}\) háromszög szabályos. Emiatt az \(\displaystyle AB\) felezőmerőlegese átmegy az \(\displaystyle A_{1}\) ponton. E két utóbbi megállapítás alapján az \(\displaystyle A_{1}C\) egyenes az \(\displaystyle AC\)-re \(\displaystyle C\)-ben állított merőleges, amely a feladat szövegében szereplő \(\displaystyle D\) pontban metszi az \(\displaystyle AB\)-t és \(\displaystyle E\) pontban az \(\displaystyle AB\) felezőmerőlegesét.
Beláttuk, hogy a \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal elforgatott \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A_{1}\) csúcsa egybeesik az \(\displaystyle E\) ponttal. Innen már néhány lépésben befejezhető a megoldás.
Először beláttuk, hogy \(\displaystyle BGA_{1}\angle \equiv BGE\angle=45^{\circ}\), másrészt az egybevágóságok miatt \(\displaystyle BCA_{1}\angle =135^{\circ}\). Az \(\displaystyle ECBG\) négyszög két szemközti szögének összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), a négy pont valóban egy körön van.
Ki kell még számolni a köréírt kör sugarát. Az \(\displaystyle EB\) szakasz a kör húrja. Ehhez a húrhoz tartozó kerületi szög \(\displaystyle BGE\angle =45^{\circ}\). A forgatásnál láttuk, hogy \(\displaystyle EB=AB\), tehát a sinustétel alapján:
\(\displaystyle EB=AB=2R \cdot \sin 45^{\circ},\)
ahonnan az átmérő
\(\displaystyle 2R=\sqrt{2} \cdot AB.\)
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 81 versenyző. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai