A B. 4813. feladat (2016. október)

B. 4813. Adott egy \(\displaystyle p\) prímszám. Oldjuk meg az egész számok körében a

\(\displaystyle \left|\frac{2}{x}-\frac{1}{y}\right|=\frac{1}{p} \)

egyenletet.

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg először a \(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\) esetet. Az egyenletet \(\displaystyle xyp\)-vel beszorozva és rendezve:

\(\displaystyle 0=xy-2yp+xp,\)

amiből mindkét oldalhoz \(\displaystyle -2p^2\)-et adva és a jobb oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle -2p^2=(x-2p)(y+p).\)

A \(\displaystyle 2p^2\) számnak két egész szám szorzataként való előállítására a lehetőségek a következők:

\(\displaystyle -2p^2=1(-2p^2)=-1(2p^2)=2(-p^2)=-2(p^2)=p(-2p)=-p(2p)=\\ =2p(-p)=-2p(p)=p^2(-2)=-p^2(2)=2p^2(-1)=-2p^2(1).\)

Ezek alapján a szóba jövő \(\displaystyle (x;y)\) számpárok listája:

\(\displaystyle (2p+1;-2p^2-p), (2p-1;2p^2-p), (2p+2;-p^2-p), (2p-2; p^2-p), (3p;-3p), (p;p), \\ (4p; -2p), (0;0), (p^2+2p; -p-2), (-p^2+2p;-p+2), (2p^2+2p; -p-1), (-2p^2+2p; -p+1).\)

Ha \(\displaystyle p\) páratlan prímszám, akkor a \(\displaystyle (0;0)\) pár kivételével mindegyik számpár megoldást ad, vagyis a megoldások ebben az esetben:

\(\displaystyle (2p+1;-2p^2-p), (2p-1;2p^2-p), (2p+2;-p^2-p), (2p-2; p^2-p), (3p;-3p), (p;p), \\ (4p; -2p), (p^2+2p; -p-2), (-p^2+2p;-p+2), (2p^2+2p; -p-1), (-2p^2+2p; -p+1).\)

A \(\displaystyle p=2\) esetben a kapott számpárok:

\(\displaystyle (5;-10), (3;6), (6;-6), (2; 2), (6;-6), (2;2), \\ (8; -4), (0;0), (8; -4), (0;0), (12; -3), (-4; -1).\)

Ezek közül a \(\displaystyle (0;0)\) nem megoldás, és bizonyos számpárokat kétszer is megkaptunk, hiszen \(\displaystyle p^2=2p\). A megoldások tehát ebben az esetben:

\(\displaystyle (5;-10), (3;6), (6;-6), (2; 2), (8; -4), (12; -3), (-4; -1).\)

Most pedig vizsgáljuk meg a \(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}=-\frac{1}{p}\) esetet, világos, hogy az itteni megoldások különbözők lesznek az eddig kapottaktól. Az \(\displaystyle (x;y)\) számpárra pontosan akkor teljesül, hogy \(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}=-\frac{1}{p}\), ha a \(\displaystyle (-x;-y)\) számpárra \(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\). Ez azt jelenti, hogy az itteni megoldások úgy kaphatók, hogy az eddig kapott megoldások mindegyikében \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékét is \(\displaystyle -1\)-gyel szorozzuk. Páratlan \(\displaystyle p\) prímszám esetén a megoldások:

\(\displaystyle (-2p-1;2p^2+p), (-2p+1;-2p^2+p), (-2p-2;p^2+p), (-2p+2; -p^2+p), (-3p;3p), (-p;-p), \\ (-4p; 2p), (-p^2-2p; p+2), (p^2-2p;p-2), (-2p^2-2p; p+1), (2p^2-2p; p-1).\)

Ha pedig \(\displaystyle p=2\), akkor az itt kapott megoldások:

\(\displaystyle (-5;10), (-3;-6), (-6;6), (-2; -2), (-8; 4), (-12; 3), (4; 1).\)

Ezzel a feladat összes megoldását meghatároztuk.

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Beke Csongor, Dávid Levente, Deák Bence, Gera Dóra, Geretovszky Anna, Kovács 526 Tamás, Mészáros 916 Márton, Mészáros Anna, Mikulás Zsófia, Nagymihály Panka, Penyige Zita, Póta Balázs, Schefler Barna, Simon Dániel Gábor, Sokvári Olivér, Soós 314 Máté, Szajbély Sámuel, Szakály Marcell, Tiderenczl Dániel, Tubak Dániel, Vágó Ákos, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Weisz Máté.
2 pontot kapott:	Ardai István Tamás, Fajszi Bulcsú, Horváth Péter, Kocsis Anett, Martinák Zalán, Morassi Máté, Paulovics Péter, Richlik Róbert, Riedel Zsuzsanna, Tóth 111 Máté , Török Tímea, Török Zsombor Áron, Varsányi András, Vincze András .
1 pontot kapott:	25 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai