A B. 4814. feladat (2016. október)

B. 4814. Adott egy gömb belsejében a \(\displaystyle P\) pont. Tekintsük az \(\displaystyle S_1\), \(\displaystyle S_2\) és \(\displaystyle S_3\) páronként merőleges síkokat, amelyek \(\displaystyle P\)-ben metszik egymást. Mutassuk meg, hogy a síkokból a gömb által kivágott körök területeinek összege nem függ az \(\displaystyle S_1\), \(\displaystyle S_2\) és \(\displaystyle S_3\) választásától.

(Olasz feladat)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az adott \(\displaystyle \mathcal G\) gömb középpontja \(\displaystyle O\), sugara \(\displaystyle r\), az \(\displaystyle O\) pont merőleges vetülete az \(\displaystyle S_1, S_2\) és \(\displaystyle S_3\) síkokra pedig rendre \(\displaystyle X_1, X_2\) és \(\displaystyle X_3\). Ekkor a térbeli Pitagorasz-tétel szerint

\(\displaystyle \overline{OX_1}^2+\overline{OX_2}^2+\overline{OX_3}^2=\overline{OP}^2.\)

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle \mathcal G \cap S_1\) egy \(\displaystyle X_1\) középpontú kör, aminek sugara \(\displaystyle r_1=\sqrt{r^2-\overline{OX_1}^2}\), így területe \(\displaystyle t_1=r_1^2\pi=(r^2-\overline{OX_1}^2)\pi\).

Innen

\(\displaystyle t_1+t_2+t_3=\pi(3r^2-(\overline{OX_1}^2+\overline{OX_2}^2+\overline{OX_3}^2))=\pi(3r^2-\overline{OP}^2),\)

ami valóban csak \(\displaystyle P\)-től és \(\displaystyle \mathcal G\)-től függ, de független a síkok konkrét választásától.

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	87 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai