 |
A B. 4815. feladat (2016. október) |
B. 4815. Az egész számok körében értelmezett kétváltozós \(\displaystyle \circ\) műveletre teljesül, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egészek esetén
\(\displaystyle a\circ(b+c)=b\circ a+ c\circ a. \)
Mutassuk meg, hogy van olyan \(\displaystyle k\) egész, hogy \(\displaystyle a\circ b= k\cdot a~\cdot b\) minden \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) esetén.
(Olasz feladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel \(\displaystyle 0\circ 0 =0\circ (0+0)=0\circ 0+0\circ 0\), ezért \(\displaystyle 0\circ 0=0\). Mivel
\(\displaystyle 0\circ a=0\circ (a+0)=a\circ 0+0\circ 0=a\circ 0,\)
ezért
\(\displaystyle a\circ 0=a\circ (0+0)=0\circ a+0\circ a=2(0\circ a)=2(a\circ 0)\)
miatt \(\displaystyle a\circ 0=0=0\circ a\) minden \(\displaystyle a\)-ra teljesül. Ekkor viszont \(\displaystyle a\circ b = a\circ (b+0)=b\circ a+0\circ a=b\circ a\) is teljesül tetszőleges \(\displaystyle a,b\) mellett. Legyen \(\displaystyle 1\circ 1=k\). Megmutatjuk, hogy bármely \(\displaystyle a,b\) esetén \(\displaystyle a\circ b=kab\). Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatív egész számok. Az \(\displaystyle a+b\) összeg szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy \(\displaystyle a\circ b=kab\). Ha \(\displaystyle a+b\leq 2\), akkor vagy \(\displaystyle a=b=1\), amikor \(\displaystyle k\) definíciója alapján teljesül az állítás, vagy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyike 0, amikor szintén teljesül az állítás, hiszen ekkor \(\displaystyle a\circ b=kab=0\). Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle a+b=m>2\), és az összes olyan párra, melyre \(\displaystyle a+b<m\) már igazoltuk az állítást. Mivel \(\displaystyle a+b>2\), ezért \(\displaystyle \max(a,b)\geq 2\), a szimmetria miatt feltehető, hogy \(\displaystyle a\leq b\), vagyis ekkor \(\displaystyle b\geq 2\). Az indukciós feltevés szerint
\(\displaystyle a\circ b=a\circ ((b-1)+1)=(b-1)\circ a+1\circ a=k(b-1)a+k\cdot1\cdot a=kab, \)
hiszen \(\displaystyle a+b-1<a+b\) és \(\displaystyle 1+a<a+b\) is teljesül. Ezzel az állítást igazoltuk arra az esetre, amikor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatívak. Mivel
\(\displaystyle 0=a\circ 0=a\circ (b+(-b))=b\circ a+(-b)\circ a,\)
ezért \(\displaystyle a\circ (-b)=-(a\circ b)\), vagyis, ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyikét \(\displaystyle -1\)-gyel szorozzuk, akkor \(\displaystyle a\circ b\) is \(\displaystyle -1\)-szeresére változik. Ebből következik, hogy tetszőleges \(\displaystyle a,b\) egész számokra \(\displaystyle a\circ b=kab\). Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Statisztika:
90 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Krausz Gergely, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Varga-Umbrich Eszter. 4 pontot kapott: 32 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző.
A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai