A B. 4816. feladat (2016. október)

B. 4816. Legyen az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle OB\) szakaszon pedig \(\displaystyle C\) az a pont, amelyre \(\displaystyle \frac{AO}{OC}=\frac{OC}{CB}\). A \(\displaystyle C\) pontban az \(\displaystyle AB\)-re állított merőleges és \(\displaystyle AB\) Thalész-körének egyik metszéspontja \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle AD\) egyenes és az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle OC\) sugarú kör két metszéspontja \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Mekkora az \(\displaystyle EOF\) szög?

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszuk a \(\displaystyle CB\) szakaszt egységnyinek és legyen az \(\displaystyle OC\) szakasz hossza \(\displaystyle q\). Az \(\displaystyle OC\) sugarú kör \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontjaira szintén \(\displaystyle EO=FO=q\). Az \(\displaystyle AD\) szakasz felezőpontja legyen a \(\displaystyle T\) pont.

Az \(\displaystyle AO\) szakasz hosszára a feltételben szereplő arányból \(\displaystyle AC=q^{2}\) adódik. Az \(\displaystyle ABD\) derékszögű háromszög átfogója \(\displaystyle AB=2q^{2}\), a \(\displaystyle BD\) befogó merőleges vetülete az átfogón egységnyi, így a befogótétel alapján \(\displaystyle BD=q\sqrt{2}\). Az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle AD\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle T\), így az \(\displaystyle OT\) szakasz is feleakkora, mint a \(\displaystyle BD\), \(\displaystyle OT=q\frac{\sqrt{2}}{2}\). Most tekintsük az \(\displaystyle OTE\) és \(\displaystyle OTF\) derékszögű háromszögeket. A befogó és az átfogó arányából látható, hogy egybevágóak és egyenlő szárúak. Az \(\displaystyle EOF\) szög derékszög.

Statisztika:

77 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	53 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai