A B. 4819. feladat (2016. október)

B. 4819. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\), akkor

\(\displaystyle {(\tg x)}^{\sin x}+ {(\ctg x)}^{\cos x}\ge 2. \)

Mely \(\displaystyle x\)-ekre teljesül egyenlőség?

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle 0<x<\pi/4\), akkor \(\displaystyle \sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos x\) és \(\displaystyle \tg x<1<\ctg x\), ezért

\(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}>(\tg x)^{\sqrt{2}/2}+(\ctg x)^{\sqrt{2}/2}\geq 2,\)

ahol az első egyenlőtlenség az exponenciális függvény monotonitása, a második pedig a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség alapján teljesül. Ha \(\displaystyle \pi/4<x<\pi/2\), akkor \(\displaystyle \sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}>\cos x\) és \(\displaystyle \tg x>1>\ctg x\), amiből az előzőekhez teljesen hasonlóan következik, hogy \(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}> 2\). Végül, ha \(\displaystyle x=\pi/4\), akkor \(\displaystyle \tg x=\ctg x=1\), és így \(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}= 2\). Ezzel az egyenlőtlenséget igazoltuk, és azt is megmutattuk, hogy pontosan \(\displaystyle x=\pi/4\) esetén teljesül egyenlőség.

Statisztika:

113 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	90 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai