 |
A B. 4822. feladat (2016. november) |
B. 4822. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle p\) természetes számot, melyre az \(\displaystyle x^2+(p+2015)x +2016p+1=0\) egyenletnek van egész megoldása.
Javasolta: Jakab Tibor (Sepsiszentgyörgy)
(3 pont)
A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A másodfokú egyenlet megoldásai:
\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-p-2015\pm \sqrt{(p+2015)^2-4(2016p+1)}}{2}.\)
A két gyök összege egész szám, így vagy mindkettő egész, vagy egyikük sem. Pontosan akkor egészek, ha az egyenlet diszkriminánsa egy nemnegatív egész szám négyzete. Ugyanis, ha ez nem teljesül, akkor az egyenletnek vagy nincsen valós megoldása, vagy a megoldások irracionálisak. Ha viszont teljesül, akkor egészek a gyökök, hiszen a diszkrimináns paritása megegyezik \(\displaystyle p+2015\) paritásával, és így a számláló páros.
Tehát azt kell meghatároznunk, hogy a diszkrimináns, vagyis \(\displaystyle (p+2015)^2-4(2016p+1)=(p-2017)^2-8068\) mikor lesz négyzetszám:
\(\displaystyle (p-2017)^2-8068=q^2,\)
ahol \(\displaystyle q\) nemnegatív egész szám. Az egyenletet átrendezve és szorzattá alakítva:
\(\displaystyle (p+q-2017)(p-q-2017)=4\cdot 2017.\)
A bal oldalon található szorzat mindkét tényezője egész szám, melyek paritása megegyezik, így mindkettőnek párosnak kell lennie. Mivel 2017 prímszám, ezért a szorzattá alakításra az alábbi lehetőségeket kapjuk (\(\displaystyle q\geq0\)-t is figyelembe véve):
\(\displaystyle 4034\cdot 2, (-2)\cdot (-4034).\)
A \(\displaystyle p=\frac{(p+q-2017)+(p-q-2017)}{2}+2017\) összefüggést használva \(\displaystyle p\) értékére rendre a \(\displaystyle 4035\), illetve a \(\displaystyle -1\) értéket kapjuk. Mivel \(\displaystyle p\) természetes szám, ezért csak \(\displaystyle p=4035\) lehet, ekkor \(\displaystyle (p-2017)^2-8068=2016^2\), tehát valóban négyzetszám a diszkrimináns.
Tehát az egyetlen, a feltételeknek megfelelő választás: \(\displaystyle p=4035\).
Statisztika:
144 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 100 versenyző. 2 pontot kapott: 17 versenyző. 1 pontot kapott: 23 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai