A B. 4823. feladat (2016. november)

B. 4823. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben (\(\displaystyle AB < AC\)) az \(\displaystyle A\) pontból induló magasságvonal talppontja \(\displaystyle D\), a háromszög köré írható kör középpontja \(\displaystyle O\). Bizonyítsuk be, hogy ha a \(\displaystyle BAC\sphericalangle\) külső szögfelezője párhuzamos \(\displaystyle OD\)-vel, akkor az \(\displaystyle AODC\) négyszög átlói egyenlőek.

(Erdélyi Magyar Matematikaverseny)

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle AD=OC\).

Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) körív felezőpontja; jól ismert, hogy a \(\displaystyle BAC\) szög külső szögfelezője átmegy az \(\displaystyle M\) ponton. (Például a kerületi szögek tételéből \(\displaystyle MAC\sphericalangle = MBC\sphericalangle = 90^\circ- BMO\angle = 90^\circ-\frac12 BMC\angle = 90^\circ-\frac12 BAC\angle = 90^\circ-\frac12 \alpha = \frac{180^\circ-\alpha}2\).)

Az \(\displaystyle OM\) és \(\displaystyle OC\) szakaszok a körülírt kör sugarai, így \(\displaystyle OM=OC\).

Az \(\displaystyle M\) és az \(\displaystyle O\) pont is egyenlő távol van a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontoktól, így az \(\displaystyle MO\) egyenes a \(\displaystyle BC\) szakasz felező merőlegese. Ezért \(\displaystyle MO\) merőleges a háromszög \(\displaystyle BC\) oldalára, tehát párhuzamos az \(\displaystyle AD\) magassággal. A feladat feltétele szerint az \(\displaystyle AM\) külső szögfelező és \(\displaystyle DO\) is párhuzamosak. Az \(\displaystyle ADOM\) négyszögben tehát a szemközti oldalak párhuzamosak, a négyszög egy paralelogramma. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, ezért \(\displaystyle AD=OM\).

Összefoglalva, \(\displaystyle AD = OM = OC\).

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	64 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai