 |
A B. 4824. feladat (2016. november) |
B. 4824. Legyenek \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) olyan valós számok, melyekre \(\displaystyle xy=1\) teljesül. Adjuk meg a
\(\displaystyle K=\frac{{(x+y)}^2-(x-y)-2}{{(x+y)}^2+(x-y)-2} \)
kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét.
Javasolta: Szoldatics József (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle t=x-y\). Bármilyen valós \(\displaystyle t\) esetén léteznek olyan \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valós számok, amelyekre \(\displaystyle t=x-y\) és \(\displaystyle 1=xy\), hiszen az \(\displaystyle 1=x(x-t)\) egyenlet egy olyan, \(\displaystyle x\)-ben másodfokú egyenlet: \(\displaystyle x^2-tx-1=0\), amelynek diszkriminánsa, (\(\displaystyle t^2+4\)) pozitív. Az \(\displaystyle (x+y)^2=(x-y)^2+4xy=t^2+4\) összefüggés segítségével \(\displaystyle K\)-ra a következőket kapjuk:
\(\displaystyle \frac{(x+y)^2-(x-y)-2}{(x+y)^2+(x-y)-2}=\frac{t^2-t+2}{t^2+t+2}=:K(t).\)
Azt kell tehát meghatároznunk, hogy mi \(\displaystyle K(t)\) lehetséges legkisebb és legnagyobb értéke, ha \(\displaystyle t\) valós szám. Ha \(\displaystyle t=0\), akkor \(\displaystyle K(0)=1\). A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle t\ne 0\). Ekkor \(\displaystyle K(t)=1-\frac{2t}{t^2+t+2}=1-\frac{2}{1+t+\frac{2}{t}}\). Ha \(\displaystyle t>0\), akkor \(\displaystyle K(t)<1\), és a lehetséges legkisebb értéket akkor kapjuk, ha \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) minimális. A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\geq 2\sqrt{2}\) és egyenlőség \(\displaystyle t=\frac{2}{t}=\sqrt{2}\)-re teljesül, vagyis \(\displaystyle t>0\) esetén \(\displaystyle K(t)\) lehetséges legkisebb értéke \(\displaystyle K(\sqrt{2})=1-\frac{2}{1+2\sqrt{2}}=\frac{9-4\sqrt{2}}{7}\). Ha pedig \(\displaystyle t<0\), akkor a \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) negatív szám abszolút értéke az előzőekhez hasonlóan legalább \(\displaystyle 2\sqrt{2}\) (egyenlőség \(\displaystyle t=-\sqrt{2}\) esetén áll fenn). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle K(t)>1\), és a legnagyobb értéket akkor kapjuk, amikor \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) abszolút értéke minimális, azaz \(\displaystyle t+\frac{2}{t}=-2\sqrt{2}\). Vagyis a kifejezés maximuma \(\displaystyle K(-\sqrt{2})=1-\frac{2}{1-2\sqrt{2}}=\frac{9+4\sqrt{2}}{7}\).
A különböző esetekben kapott eredményeket összegezve a kifejezés lehetséges legkisebb értéke tehát \(\displaystyle \frac{9-4\sqrt{2}}{7}\), a legnagyobb pedig \(\displaystyle \frac{9+4\sqrt{2}}{7}\).
Statisztika:
113 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 74 versenyző. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző.
A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai