A B. 4835. feladat (2016. december)

B. 4835. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

\(\displaystyle x+y+z =3,\)

\(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} =7,\)

\(\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3} =15.\)

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először számoljuk ki \(\displaystyle xy+yz+zx\) és \(\displaystyle xyz\) értékét:

\(\displaystyle xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{3^2-7}{2}=1,\)

illetve

\(\displaystyle xyz=\frac{(x^3+y^3+z^3)-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{3}=\frac{15-3\cdot(7-1)}{3}=-1.\)

Így a Viète-formulák alapján, ha az \(\displaystyle x, y,z\) valós számokra mindhárom megadott egyenlet teljesül, akkor \(\displaystyle x,y,z\) a következő harmadfokú egyenlet gyökei:

\(\displaystyle (t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=t^3-3t^2+t+1=0.\)

Könnyű észrevenni, hogy \(\displaystyle t=1\) az egyik gyök. A \(\displaystyle (t-1)\) gyöktényezőt kiemelve:

\(\displaystyle t^3-3t^2+t+1=(t-1)(t^2-2t-1),\)

így a másik két gyök a másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint:

\(\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot (-1)}}{2}=1\pm \sqrt{2}.\)

Tehát, ha az \(\displaystyle x,y,z\) valós számokra teljesül a három megadott egyenlet, akkor azok valamilyen sorrendben \(\displaystyle 1,1+\sqrt2, 1-\sqrt2\). Ellenőrzéssel megállapíthatjuk, hogy az így kapott 6 (rendezett) számhármas valóban megoldás, hiszen:

\(\displaystyle 1+(1+\sqrt2)+(1-\sqrt2)=3,\)

\(\displaystyle 1^2+(1+\sqrt2)^2+(1-\sqrt2)^2=1+(3+2\sqrt2)+(3-2\sqrt2)=7,\)

\(\displaystyle 1^3+(1+\sqrt2)^3+(1-\sqrt2)^3=1+(7+5\sqrt2)+(7-5\sqrt2)=15.\)

Statisztika:

137 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	62 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai