 |
A B. 4836. feladat (2016. december) |
B. 4836. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogrammában \(\displaystyle BC=\lambda\, AB\). Az \(\displaystyle A\)-ból és \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezők metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma hányadrészét fedi le az \(\displaystyle ABM\triangle\)?
Javasolta: Kozma József (Szeged)
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Az ábrán rendre 1-es, 2-es illetve 3-as indexszel jelöltük azokat az eseteket, amikor \(\displaystyle M\) a paralelogramma határán, azon kívül, illetve belül helyezkedik el. Az \(\displaystyle M\)-en át \(\displaystyle AD\)-vel húzott párhuzamos messe az \(\displaystyle AB\) oldalt \(\displaystyle F\)-ben. Az azonosan jelölt egy-, illetve kétíves szögek a szögfelező tulajdonság és váltószögek miatt egyenlőek. A kétszereseik összege \(\displaystyle 180^{\circ}\) lévén \(\displaystyle AMB\measuredangle = 90^{\circ}\); \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AB\) átfogójú derékszögű háromszög körülírt körének középpontja, így felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt. A keletkezett kisebb paralelogrammák és az egyenlőszárú háromszögek miatt például \(\displaystyle BC_1=MC_1=FB=AB/2\), ekkor \(\displaystyle \lambda = \dfrac{1}{2}\), és az \(\displaystyle ABM\) háromszög \(\displaystyle t\) területe fele az \(\displaystyle ABC_1D_1\) paralelogramma területének. Látható, hogy a 2-es helyzet \(\displaystyle \lambda < \dfrac{1}{2}\)-nek, a 3-as pedig \(\displaystyle \lambda > \dfrac{1}{2}\)-nek felel meg.
Az előbbi esetben a háromszög által lefedett terület \(\displaystyle t\left(1-\dfrac{C_1C_2^2}{C_1B^2}\right)=t\left(1-\dfrac{(AB(1/2 -\lambda))^2}{(AB/2)^2}\right)=4(\lambda -\lambda^2)t\), az \(\displaystyle ABC_2D_2\) paralelogramma \(\displaystyle 2t\dfrac{\lambda}{1/2}=4\lambda t\) területének \(\displaystyle 1-\lambda\)-szorosa.
Az utóbbi esetben a lefedett rész területe \(\displaystyle t\), ami az \(\displaystyle ABC_3D_3\) paralelogramma \(\displaystyle 2t\dfrac{\lambda}{1/2}=4\lambda t\) területének \(\displaystyle \dfrac{1}{4\lambda}\)-szorosa.
Statisztika:
109 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 55 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 47 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai