A B. 4842. feladat (2017. január)

B. 4842. Legyen \(\displaystyle p\) tetszőleges (pozitív) prímszám. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle b\) pozitív egész számot, amelyre az \(\displaystyle x^2-bx+bp = 0\) másodfokú egyenlet gyökei egész számok.

Javasolta: Lelkes Ádám (New York City)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x^2-bx+bp\) egyenlet két gyöke, \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\), egész. A Viète-formulák szerint \(\displaystyle x_1+x_2=b\) és \(\displaystyle x_1x_2=bp\). Mivel \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle bp\) is pozitív, ezért \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) is pozitívak. Mivel \(\displaystyle p\) prímszám, ezért \(\displaystyle x_1x_2=bp\) miatt \(\displaystyle x_1\) vagy \(\displaystyle x_2\) osztható \(\displaystyle p\)-vel. Feltehető, hogy \(\displaystyle x_1\), ekkor \(\displaystyle x_1=cp\), ahol \(\displaystyle c\) pozitív egész szám. Így \(\displaystyle x_2=b-x_1=b-cp\), és ezért \(\displaystyle bp=x_1x_2=cp(b-cp)\). Ebből átrendezés után \(\displaystyle bp(c-1)=c^2p^2\), vagyis \(\displaystyle b=\frac{c^2p}{c-1}\) adódik. (Nem lehet \(\displaystyle c=1\), hiszen \(\displaystyle c^2p^2>0\).) Mivel \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle c-1\) relatív prímek, ezért \(\displaystyle b=\frac{c^2p}{c-1}\) csak úgy lehet egész szám, ha \(\displaystyle c-1\mid p\). A \(\displaystyle c-1\) nemnegatív egész számnak tehát osztania kell a \(\displaystyle p\) prímszámot, így \(\displaystyle c-1=1\) vagy \(\displaystyle c-1=p\).

Ha \(\displaystyle c-1=1\), akkor \(\displaystyle c=2\) és \(\displaystyle b=4p\). Ekkor a \(\displaystyle 0=x^2-4px+4p^2=(x-2p)^2\) egyenlet gyökei valóban egészek: \(\displaystyle x_1=x_2=2p\).

Ha \(\displaystyle c-1=p\), akkor \(\displaystyle c=p+1\) és \(\displaystyle b=c^2=(p+1)^2\). Ekkor a \(\displaystyle 0=x^2-(p+1)^2x+p(p+1)^2=(x-p(p+1))(x-(p+1))\) egyenlet gyökei szintén egészek: \(\displaystyle x_1=p(p+1)\) és \(\displaystyle x_2=p+1\).

Tehát a feltételnek eleget tevő \(\displaystyle b\) pozitív egész számok: \(\displaystyle b=4p\) és \(\displaystyle b=(p+1)^2\).

Statisztika:

96 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Alexy Milán, Ardai István Tamás, Bán Dániel, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csiszár Zoltán, Csuha Boglárka, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Gál Hanna, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Harsch Leila, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 526 Tamás, Kupás Vendel Péter, Mészáros 916 Márton, Morassi Máté, Nagymihály Panka, Németh 123 Balázs, Nguyen Thac Bach, Noszály Áron, Olosz Adél, Póta Balázs, Richlik Róbert, Rittgasszer Ákos, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Simon Dániel Gábor, Surján Anett, Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Tóth Viktor, Tran 444 Ádám, Vágó Ákos, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai