A B. 4846. feladat (2017. január)

B. 4846. Öt zárt félsík metszete korlátos. Mutassuk meg, hogy kiválasztható közülük négy úgy, hogy azok metszete is korlátos.

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A félsíkok metszete egy legfeljebb öt oldalú (esetleg elfajuló) konvex sokszög (vagy üres). Feltehetjük, hogy az öt félsík metszete egy konvex ötszög, különben létezik olyan félsík, amit elhagyva a metszet nem változik.

Legyen \(\displaystyle e\) valamely félsíkot határoló egyenes, valamint legyen a metszet ötszög neki megfelelő oldala \(\displaystyle \hat e\). Az \(\displaystyle e\) egyeneshez tartozó félsíkot elhagyva akkor marad korlátos a metszet, ha az ötszög \(\displaystyle \hat e\) oldalán fekvő szögek összege szigorúan nagyobb, mint \(\displaystyle 180^\circ\).

Tegyük fel, hogy nincs ilyen oldal. Ekkor minden oldalon a szögek összege legfeljebb \(\displaystyle 180^\circ\), ezért az ötszög belső szögeinek összege legfeljebb \(\displaystyle 5\cdot 180^\circ /2<540^\circ\). Ellentmondásra jutottunk, ezért az állítás igaz.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Imolay András, Kerekes Anna, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	Csiszár Zoltán, Döbröntei Dávid Bence, Fülöp Anna Tácia, Nagy Nándor, Póta Balázs.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai