A B. 4848. feladat (2017. január)

B. 4848. Keressük meg az összes olyan \(\displaystyle P\) konvex poliédert, aminek a belsejében létezik egy olyan \(\displaystyle O\) pont, hogy \(\displaystyle P\) minden \(\displaystyle O\)-ra illeszkedő síkkal vett metszete \(\displaystyle O\) középpontú paralelogramma.

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle P\) egy tetszőleges pontja, s tekintsünk egy, az \(\displaystyle XO\) egyenest tartalmazó tetszőleges síkmetszetet. Ez a síkmetszet egy \(\displaystyle O\) centrumú paralelogramma, tehát tartalmazza az \(\displaystyle X\) pont \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó \(\displaystyle X'\) tükörképét. Így \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle O\) pontra középpontosan szimmetrikus.

Most legyen \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) a \(\displaystyle P\) két tetszőleges, nem centrálisan átellenes csúcsa. Ekkor az \(\displaystyle XYO\) síkmetszet éppen az \(\displaystyle XYX'Y'\) paralelogramma, ami miatt \(\displaystyle XY\) a \(\displaystyle P\) határán van, így illeszkedik \(\displaystyle P\) valamilyen lapjára. A B.4838. feladat szerint \(\displaystyle P\) egy paralelepipedon, vagy csúcsai épp egy paralelepipedon lapközéppontjai.

Mindkét esetben van a testnek hatszög alakú centrálmetszete, ezért nincs a kívánalmaknak megfelelő konvex poliéder.

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Gáspár Attila, Hoffmann Balázs, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Tóth Viktor, Weisz Máté.
5 pontot kapott:	Alexy Milán, Keresztfalvi Bálint, Németh 123 Balázs, Szabó Kristóf.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai