A B. 4858. feladat (2017. március)

B. 4858. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) egységnyi távolságra lévő pontok köré írt \(\displaystyle k_A\) és \(\displaystyle k_B\) egységkörök a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban metszik egymást. Legyen a \(\displaystyle C\) középpontú, \(\displaystyle D\)-re illeszkedő körvonal \(\displaystyle k_C\). Az \(\displaystyle AC\) egyenes és a \(\displaystyle k_C\) kör \(\displaystyle A\)-tól távolabbi metszéspontja \(\displaystyle F\); a \(\displaystyle k_A\) kör és a \(\displaystyle DF\) egyenes második metszéspontja pedig \(\displaystyle G\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle GAD\sphericalangle=90^\circ\).

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Mivel \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ADB\) egyenlő oldalúak, ezért az \(\displaystyle ACD\) egyenlőszárú háromszögben \(\displaystyle A\angle=120^\circ\) és \(\displaystyle C\angle=D\angle=30^\circ\). Így a \(\displaystyle CFD\) egyenlőszárú háromszögben \(\displaystyle C\angle=150^{\circ}\) és \(\displaystyle D\angle=15^\circ\). A \(\displaystyle k_A\) kör \(\displaystyle CG\) íven nyugvó kerületi szögei \(\displaystyle GDC\angle=CEG\angle=15^\circ\), s így \(\displaystyle GAE\) egyenlőszárú háromszögben \(\displaystyle A\angle=150^\circ\). Mivel a \(\displaystyle DAE\triangle\) szabályos, \(\displaystyle GAD\angle=GAE\angle-DAE\angle=150^\circ-60^\circ=90^\circ\), ahogy állítottuk.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	98 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai