 |
A B. 4860. feladat (2017. március) |
B. 4860. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a<b<c<d\) és \(\displaystyle a+d\ne b+c\). Mutassuk meg, hogy az
\(\displaystyle \frac1{a-x}-\frac1{b-x}-\frac{1}{c-x}+\frac1{d-x}=0 \)
egyenletnek pontosan két különböző gyöke van, amelyek közül az egyik a \(\displaystyle (b,c)\) intervallumba, a másik pedig az \(\displaystyle (a,d)\) intervallumon kívül esik.
(3 pont)
A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezést \(\displaystyle (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)\)-szel beszorozva az
\(\displaystyle f(x)=(b-x)(c-x)(d-x)-(a-x)(c-x)(d-x)-(a-x)(b-x)(d-x)+(a-x)(b-x)(c-x)\)
polinomot kapjuk. Világos, hogy \(\displaystyle f\) egy legfeljebb harmadfokú polinom. Mivel \(\displaystyle f\)-ben \(\displaystyle x^3\) együtthatója \(\displaystyle -1-(-1)-(-1)-1=0\), azonban \(\displaystyle x^2\) együtthatója \(\displaystyle (b+c+d)-(a+c+d)-(a+b+d)+(a+b+c)=b+c-a-d\ne 0\), ezért \(\displaystyle f\) másodfokú. Mivel \(\displaystyle f\)-nek az \(\displaystyle a,b,c,d\) számok egyike sem gyöke, így \(\displaystyle f\) gyökei éppen az eredeti egyenlet megoldásai. Behelyettesítve az \(\displaystyle a,b,c,d\) értékeket látható, hogy \(\displaystyle f(a)\) és \(\displaystyle f(b)\) pozitív, \(\displaystyle f(c)\) és \(\displaystyle f(d)\) pedig negatív. Vagyis \(\displaystyle f\) pozitív és negatív értéket is felvesz, így két gyöke van, melyek közül (pontosan) az egyik a \(\displaystyle (b,c)\) intervallumba esik. Mivel \(\displaystyle f(a)\) és \(\displaystyle f(b)\) egyaránt pozitívak, ezért \(\displaystyle f\) másik gyöke nem \(\displaystyle [a,b]\)-be esik, és ehhez hasonlóan látható, hogy nem is \(\displaystyle [c,d]\)-be. Tehát a másik gyöke nem eleme az \(\displaystyle (a,d)\) intervallumnak.
Ezzel a feladat állításait igazoltuk.
Statisztika:
35 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Csahók Tímea, Fekete Balázs Attila, Fülöp Anna Tácia, Noszály Áron, Póta Balázs, Simon Dániel Gábor, Tiderenczl Dániel, Tiszay Ádám, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint. 2 pontot kapott: Deák Bence, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Lajkó Áron, Mikulás Zsófia, Richlik Róbert. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai